¿Tiene el número 24 un múltiplo mayor? Números naturales (N). Números primos y compuestos. Divisor, múltiplo. Máximo común divisor, mínimo común múltiplo. Minimo común multiplo
El conjunto de los números naturales = (1, 2, 3...). Es decir, el conjunto de los números naturales es el conjunto de todos los números enteros positivos. Las operaciones de suma, multiplicación, resta y división están definidas sobre números naturales. El resultado de sumar, multiplicar y restar dos números naturales es un número entero. El resultado de dividir dos números naturales puede ser un número entero o una fracción.
Por ejemplo: 20: 4 = 5 – el resultado de la división es un número entero.
20: 3 = 6 2/3 – el resultado de la división es una fracción.
Un número natural n se dice que es divisible por un número natural m si el resultado de la división es un número entero. En este caso, el número m se llama divisor del número n y el número n se llama múltiplo del número m.
En el primer ejemplo, el número 20 es divisible por 4, 4 es divisor de 20 y 20 es múltiplo de 4.
En el segundo ejemplo, el número 20 no es divisible por el número 3, por lo que no se puede hablar de divisores y múltiplos;
Un número n se llama primo si no tiene más divisores que él mismo y uno. Ejemplos de números primos: 2, 7, 11, 97, etc.
Un número n se llama compuesto si tiene divisores distintos de él mismo y uno.
Cualquier número natural se puede descomponer en un producto de números primos, y esta descomposición es única, hasta el orden de los factores. Por ejemplo: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 – todas estas expansiones difieren sólo en el orden de los factores.
El máximo común divisor de dos números myn es el mayor número natural que es divisor tanto de myn. Por ejemplo, los números 34 y 85 tienen un máximo común divisor de 17.
El mínimo común múltiplo de dos números myn es el número natural más pequeño que es múltiplo de myn. Por ejemplo, los números 15 y 4 tienen un mínimo común múltiplo de 60.
Un número natural, divisible por dos números primos, también lo es por su producto. Por ejemplo, si un número es divisible por 2 y 3, entonces es divisible por 6 = 2 3, si por 11 y 7, entonces por 77.
Ejemplo: el número 6930 es divisible por 11 - 6930: 11 = 630, y es divisible por 7 - 6930: 7 = 990. Podemos decir con seguridad que este número también es divisible por 77. Comprobemos: 6930: 77 = 90.
Algoritmo para descomponer el número n en factores primos:
1. Encuentre el divisor primo más pequeño del número n (distinto de 1) - a1.
2. Divida el número n por a1, denotando el cociente como n1.
3. n=a1 n1.
4. Realizamos la misma operación con n1 hasta obtener un número primo.
Ejemplo: factorizar el número 17,136 en factores primos
1. El divisor primo más pequeño distinto de 1, aquí 2.
2. 17 136: 2 = 8 568;
3. 17 136 = 8 568 2.
4. El divisor primo más pequeño de 8568 es 2.
5. 8 568: 2 = 4284;
6. 17 136 = 4284 2 2.
7. El divisor primo más pequeño de 4284 es 2.
8. 4284: 2 = 2142;
9. 17 136 = 2142 2 2 2.
10. El divisor primo más pequeño de 2142 es 2.
11. 2142: 2 = 1071;
12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.
13. El divisor primo más pequeño de 1071 es 3.
14. 1071: 3 = 357;
15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.
16. El divisor primo más pequeño de 357 es 3.
17. 357: 3 = 119;
18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.
19. El divisor primo más pequeño de 119 es 7.
20. 119: 7 = 17;
21. 17 es un número primo, lo que significa 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.
Hemos obtenido la descomposición del número 17.136 en factores primos.
Múltiplos comunes de números naturalesaYbes un número que es múltiplo de cada uno de estos números.
El número más pequeño de todos los múltiplos comunes A Y b llamado mínimo común múltiplo de estos números.
Mínimo común múltiplo de números A Y b Acordemos denotar K( A, b).
Por ejemplo, los dos números 12 y 18 son múltiplos comunes de: 36, 72, 108, 144, 180, etc. El número 36 es el mínimo común múltiplo de los números 12 y 18. Puedes escribir: K(12, 18) = 36.
Para el mínimo común múltiplo las siguientes afirmaciones son verdaderas:
1. Mínimo común múltiplo de números A Y b
2. Mínimo común múltiplo de números A Y b no menos que el mayor de estos números, es decir Si un >b, entonces K( A, b) ≥ A.
3. Cualquier múltiplo común de números A Y b dividido por su mínimo común múltiplo.
Máximo común divisor
El divisor común de los números naturales a ybes un número que es divisor de cada uno de los números dados.
El mayor número de todos los divisores comunes de números. A Y b se llama máximo común divisor de estos números.
Máximo común divisor de números A Y b Acordemos denotar D( A, b).
Por ejemplo, para los números 12 y 18, los divisores comunes son los números: 1, 2, 3, 6. El número 6 es 12 y 18. Puedes escribir: D(12, 18) = 6.
El número 1 es el divisor común de dos números naturales cualesquiera. a Y b. Si estos números no tienen otros divisores comunes, entonces D( A, b) = 1, y los números A Y b son llamados mutuamente primos.
Por ejemplo, los números 14 y 15 son primos relativos, ya que D(14, 15) = 1.
Para el máximo común divisor se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Máximo común divisor de números a Y b siempre existe y es único.
2. Máximo común divisor de números A Y b no excede el menor de los números dados, es decir Si a< b, Eso D(a, b) ≤ a.
3. Máximo común divisor de números a Y b es divisible por cualquier divisor común de estos números.
Máximo común múltiplo de números A Y b y su máximo común divisor están interrelacionados: el producto del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de números A Y b igual al producto de estos números, es decir K( a, b)·D( a, b) = a· b.
De esta afirmación se desprenden los siguientes corolarios:
a) El mínimo común múltiplo de dos números primos entre sí es igual al producto de estos números, es decir D( a, b) = 1 => K( a, b) = a· b;
Por ejemplo, para encontrar el mínimo común múltiplo de los números 14 y 15, basta con multiplicarlos, ya que D(14, 15) = 1.
b) A dividido por el producto de números coprimos metro Y norte, es necesario y suficiente que sea divisible por metro, y en norte.
Esta afirmación es un signo de divisibilidad por números que se pueden representar como el producto de dos números relativamente primos.
c) Los cocientes que se obtienen al dividir dos números dados por su máximo común divisor son números primos relativos.
Esta propiedad se puede utilizar al comprobar la exactitud del máximo común divisor encontrado de números dados. Por ejemplo, comprobemos si el número 12 es el máximo común divisor de los números 24 y 36. Para ello, según el último enunciado, dividimos 24 y 36 entre 12. Obtenemos los números 2 y 3, respectivamente, que son coprimos. Por lo tanto, D(24, 36)=12.
Problema 32. Formule y demuestre la prueba de divisibilidad entre 6.
Solución X divisible por 6, es necesario y suficiente que sea divisible por 2 y 3.
deja el numero X es divisible por 6. Entonces del hecho de que X 6 y 62, se deduce que X 2. Y del hecho de que X 6 y 63, se deduce que X 3. Probamos que para que un número sea divisible entre 6, debe ser divisible entre 2 y 3.
Demostremos la suficiencia de esta condición. Porque X 2 y X 3, entonces X- múltiplo común de los números 2 y 3. Cualquier múltiplo común de números se divide por su mínimo múltiplo, lo que significa X K(2;3).
Desde D(2, 3)=1, entonces K(2, 3)=2·3=6. Por eso, X 6.
Problema 33. Formular a 12, 15 y 60.
Solución. Para que un número natural X divisible por 12, es necesario y suficiente que sea divisible por 3 y 4.
Para que un número natural X divisible por 15, es necesario y suficiente que sea divisible por 3 y 5.
Para que un número natural X divisible por 60, es necesario y suficiente que sea divisible por 4, 3 y 5.
Problema 34. encontrar números a Y b, si K( a, b)=75, a· b=375.
Solución. Usando la fórmula K( a, b)·D( a, b)=a· b, encuentra el máximo común divisor de los números requeridos A Y b:
D( a, b) === 5.
Entonces los números requeridos se pueden representar en la forma A= 5R, b= 5q, Dónde pag Y q pag y 5 q en la igualdad a b= 275. Consigamos 5 pag·5 q=375 o pag· q=15. Resolvemos la ecuación resultante con dos variables por selección: encontramos pares de números primos relativos cuyo producto es igual a 15. Hay dos pares de este tipo: (3, 5) y (1, 15). Por lo tanto, los números requeridos A Y b son: 15 y 25 o 5 y 75.
Problema 35. encontrar números A Y b, si se sabe que D( a, b) = 7 y a· b= 1470.
Solución. Desde D( a, b) = 7, entonces los números requeridos se pueden representar en la forma A= 7R, b= 7q, Dónde pag Y q son números mutuamente primos. Sustituyamos expresiones 5 R y 5 q en la igualdad a b = 1470. Entonces 7 pag·7 q= 1470 o pag· q= 30. Resolvemos la ecuación resultante con dos variables por selección: encontramos pares de números primos relativos cuyo producto es igual a 30. Hay cuatro pares de este tipo: (1, 30), (2, 15), (3, 10 ), (5, 6). Por lo tanto, los números requeridos A Y b son: 7 y 210, 14 y 105, 21 y 70, 35 y 42.
Problema 36. encontrar números A Y b, si se sabe que D( a, b) = 3 y A:b= 17:14.
Solución. Porque a:b= 17:14, entonces A= 17R Y b= 14pag, Dónde R- máximo común divisor de números A Y b. Por eso, A= 17·3 = 51, b= 14·3 = 42.
Problema 37. encontrar números A Y b, si se sabe que K( a, b) = 180, a:b= 4:5.
Solución. Porque a: b=4:5 entonces A=4R Y b=5R, Dónde R- máximo común divisor de números a Y b. Entonces R·180=4 R·5 R. Dónde R=9. Por eso, un = 36 y b=45.
Problema 38. encontrar números A Y b, si se sabe que D( a, b)=5,K( a, b)=105.
Solución. Desde D( a, b)K( a, b) = a· b, Eso a· b= 5 105 = 525. Además, los números requeridos se pueden representar en la forma A= 5R Y b= 5q, Dónde pag Y q son números mutuamente primos. Sustituyamos expresiones 5 R y 5 q en la igualdad A· b= 525. Entonces 5 pag·5 q=525 o pag· q=21. Encontramos pares de números relativamente primos cuyo producto es igual a 21. Hay dos pares de este tipo: (1, 21) y (3, 7). Por lo tanto, los números requeridos A Y b son: 5 y 105, 15 y 35.
Problema 39. Demuestre que el número norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) es divisible por 6 para cualquier natural norte.
Solución. El número 6 es compuesto; se puede representar como el producto de dos números relativamente primos: 6 = 2·3. Si demostramos que un número dado es divisible por 2 y 3, entonces, basándonos en la prueba de divisibilidad por un número compuesto, podemos concluir que es divisible por 6.
Para demostrar que el número norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) es divisible por 2, debemos considerar dos posibilidades:
1) norte es divisible por 2, es decir norte= 2k. Entonces el producto norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) se verá así: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). Este producto es divisible por 2, porque el primer factor es divisible por 2;
2) norte no es divisible por 2, es decir norte= 2k+ 1. Entonces el producto norte(2norte+ 1 )(7norte+ 1) se verá así: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). Este producto es divisible por 2, porque el último factor es divisible por 2.
Para demostrar que el trabajo norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) es divisible por 3, se deben considerar tres posibilidades:
1) norte es divisible por 3, es decir norte= 3k. Entonces el producto norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) se verá así: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). Este producto es divisible por 3, porque el primer factor es divisible por 3;
2) norte Cuando se divide por 3, el resto es 1, es decir norte= 3k+ 1. Entonces el producto norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) se verá así: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). Este producto es divisible por 3, porque el segundo factor es divisible por 3;
3) norte cuando se divide por 3, el resto es 2, es decir norte= 3k+ 2. Entonces el producto norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) se verá así: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15). Este producto es divisible por 3, porque el último factor es divisible por 3.
Así, se ha demostrado que el producto norte(2norte+ 1)(7norte+ 1) es divisible por 2 y 3. Esto significa que es divisible por 6.
Ejercicios para el trabajo independiente.
1. Dados dos números: 50 y 75. Escribe el conjunto:
a) divisores del número 50; b) divisores del número 75; c) divisores comunes de números dados.
¿Cuál es el máximo común divisor de 50 y 75?
2. ¿Es el número 375 un múltiplo común de los números: a) 125 y 75; b) 85 y 15?
3. Encuentra números A Y b, si se sabe que K( a, b) = 105, a· b= 525.
4. Encuentra números A Y b, si se sabe que D( a, b) = 7, a· b= 294.
5. Encuentra números A Y b, si se sabe que D( a, b) = 5, a:b= 13:8.
6. Encuentra números A Y b, si se sabe que K( a, b) = 224, a:b= 7:8.
7. Encuentra números a Y b, si se sabe que D( a, b) = 3, k( a; b) = 915.
8. Demuestre la prueba de divisibilidad entre 15.
9. Del conjunto de números 1032, 2964, 5604, 8910, 7008, anota los que son divisibles por 12.
10. Formule los criterios de divisibilidad entre 18, 36, 45, 75.
Palabras clave del resumen:Enteros. Operaciones aritméticas con números naturales. Divisibilidad de los números naturales. Números primos y compuestos. Factorizar un número natural en factores primos. Signos de divisibilidad por 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Máximo común divisor (MCD), así como mínimo común múltiplo (LCD). División con resto.
Enteros- estos son números que se usan para contar objetos - 1, 2, 3, 4 , ... Pero el número 0 ¡No es natural!
El conjunto de los números naturales se denota por norte. Registro "3 ∈ norte" significa que el número tres pertenece al conjunto de los números naturales, y la notación "0 ∉ norte" significa que el número cero no pertenece a este conjunto.
sistema de numeración decimal- sistema numérico de base posicional 10 .
Operaciones aritméticas con números naturales.
Para los números naturales se definen las siguientes acciones: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíces. Las primeras cuatro acciones son aritmética.
Sean a, b y c números naturales, entonces
1. ADICIÓN. Término + Término = Suma
Propiedades de la suma
1. Comunicativo a + b = b + a.
2. Conjuntiva a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0 = 0 + a = a.
2. RESTA. Minuendo - Sustraendo = Diferencia
Propiedades de la resta
1. Restar la suma del número a - (b + c) = a - b - c.
2. Restar un número de la suma (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.
3. MULTIPLICACIÓN. Multiplicador * Multiplicador = Producto
Propiedades de la multiplicación
1. Comunicativo a*b = b*a.
2. Conjuntiva a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * un = un * 1 = un.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Distribución (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - antes de Cristo.
4. DIVISIÓN. Dividendo: Divisor = Cociente
Propiedades de la división
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. ¡No puedes dividir por cero!
3. 0: a= 0.
Procedimiento
1. En primer lugar, las acciones entre paréntesis.
2. Luego multiplicación, división.
3. Y solo al final suma y resta.
Divisibilidad de los números naturales. Números primos y compuestos.
Divisor de un número natural A es el número natural al que A dividido sin resto. Número 1 es divisor de cualquier número natural.
El numero natural se llama simple, si solo tiene dos divisor: uno y el número mismo. Por ejemplo, los números 2, 3, 11, 23 son números primos.
Un número que tiene más de dos divisores se llama compuesto. Por ejemplo, los números 4, 8, 15, 27 son números compuestos.
prueba de divisibilidad obras varios números: si al menos uno de los factores es divisible por un número determinado, entonces el producto también es divisible por este número. Trabajar 24 15 77 dividido por 12 , ya que el multiplicador de este número 24 dividido por 12 .
Prueba de divisibilidad para una suma (diferencia) números: si cada término es divisible por un número determinado, entonces la suma completa se divide por este número. Si a:b Y c:b, Eso (a + c): segundo. Y si a:b, A C no divisible por b, Eso a+c no divisible por un número b.
Si una:c Y c:b, Eso a:b. Basándonos en el hecho de que 72:24 y 24:12, concluimos que 72:12.
La representación de un número como producto de potencias de números primos se llama factorizar un número en factores primos.
Teorema fundamental de la aritmética: cualquier número natural (excepto 1 ) o es simple, o se puede factorizar de una sola manera.
Al descomponer un número en factores primos, se utilizan los signos de divisibilidad y se utiliza la notación de “columna”. En este caso, el divisor se ubica a la derecha de la línea vertical y el cociente se escribe debajo del dividendo.
Por ejemplo, tarea: factorizar un número en factores primos 330 . Solución:
Signos de divisibilidad en 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 y 11.
Hay signos de divisibilidad en 6, 15, 45 etc., es decir, en números cuyo producto se puede factorizar 2, 3, 5, 9 Y 10 .
Máximo común divisor
El mayor número natural por el cual cada uno de dos números naturales dados es divisible se llama máximo común divisor estos números ( MCD). Por ejemplo, MCD (10; 25) = 5; y MCD (18; 24) = 6; MCD (7; 21) = 1.
Si el máximo común divisor de dos números naturales es igual a 1 , entonces estos números se llaman mutuamente primos.
Algoritmo para encontrar el máximo común divisor(ASENTIR)
GCD se usa a menudo en problemas. Por ejemplo, 155 cuadernos y 62 bolígrafos se dividieron en partes iguales entre los estudiantes de una clase. ¿Cuántos estudiantes hay en esta clase?
Solución: Encontrar el número de estudiantes en esta clase se reduce a encontrar el máximo común divisor de los números 155 y 62, ya que los cuadernos y los bolígrafos se dividieron en partes iguales. 155 = 5 31; 62 = 2 31. MCD (155; 62) = 31.
Respuesta: 31 estudiantes en la clase.
Minimo común multiplo
Múltiplos de un número natural A es un numero natural divisible por A sin dejar rastro. Por ejemplo, número 8 tiene múltiplos: 8, 16, 24, 32 , ... Cualquier número natural tiene infinitos múltiplos.
Minimo común multiplo(MCM) es el número natural más pequeño que es múltiplo de estos números.
Algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo ( CON):
LCM también se utiliza a menudo en problemas. Por ejemplo, dos ciclistas partieron simultáneamente por un carril bici en la misma dirección. Uno hace un círculo en 1 minuto y el otro en 45 segundos. ¿En qué mínimo minutos después del inicio del movimiento se encontrarán en la salida?
Solución: El número de minutos después de los cuales se volverán a encontrar en la salida deberá dividirse por 1 minuto, así como en 45 segundos. En 1 min = 60 s. Es decir, es necesario encontrar el MCM (45; 60). 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. MCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. El resultado es que los ciclistas se encontrarán en la salida en 180 s = 3 min.
Respuesta: 3 min.
División con resto
si es un numero natural A no es divisible por un número natural b, entonces puedes hacer división con resto. En este caso, el cociente resultante se llama incompleto. La igualdad es justa:
a = b norte + r,
Dónde A- divisible, b- divisor, norte- cociente incompleto, r- resto. Por ejemplo, sea igual el dividendo 243 , divisor - 4 , Entonces 243: 4 = 60 (resto 3). Es decir, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, entonces 243 = 60 4 + 3 .
Números que son divisibles por 2 sin resto, se llaman incluso: a = 2n, norte ∈ NORTE.
Los números restantes se llaman extraño: segundo = 2norte + 1, norte ∈ NORTE.
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