Cálculo de distancias entre ciudades utilizando sus coordenadas. Distancia de un punto a otro: fórmulas, ejemplos, soluciones Cálculo de distancia por coordenadas online

En este artículo veremos formas de determinar la distancia de un punto a otro teóricamente y utilizando el ejemplo de tareas específicas. Para empezar, introduzcamos algunas definiciones.

Definición 1

Distancia entre puntos es la longitud del segmento que los conecta, en la escala existente. Es necesario establecer una escala para tener una unidad de longitud para medir. Por tanto, básicamente el problema de encontrar la distancia entre puntos se resuelve utilizando sus coordenadas en una línea de coordenadas, en un plano de coordenadas o en un espacio tridimensional.

Datos iniciales: línea de coordenadas O x y un punto arbitrario A que se encuentra sobre ella. Cualquier punto de la línea tiene un número real: sea un número determinado para el punto A. xA, también es la coordenada del punto A.

En general, podemos decir que la longitud de un determinado segmento se evalúa en comparación con un segmento tomado como unidad de longitud en una escala determinada.

Si el punto A corresponde a un número real entero, colocando secuencialmente desde el punto O hasta el punto a lo largo de la línea recta O A segmentos - unidades de longitud, podemos determinar la longitud del segmento O A a partir del número total de segmentos unitarios reservados.

Por ejemplo, el punto A corresponde al número 3; para llegar a él desde el punto O, deberá trazar tres segmentos unitarios. Si el punto A tiene coordenadas - 4, los segmentos unitarios se disponen de manera similar, pero en una dirección negativa diferente. Así, en el primer caso, la distancia O A es igual a 3; en el segundo caso O A = 4.

Si el punto A tiene como coordenada un número racional, entonces desde el origen (punto O) trazamos un número entero de segmentos unitarios, y luego su parte necesaria. Pero geométricamente no siempre es posible realizar una medición. Por ejemplo, parece difícil trazar la fracción 4 111 en la línea de coordenadas.

Con el método anterior, es completamente imposible trazar un número irracional en línea recta. Por ejemplo, cuando la coordenada del punto A es 11. En este caso, es posible recurrir a la abstracción: si la coordenada dada del punto A es mayor que cero, entonces O A = x A (el número se toma como la distancia); si la coordenada es menor que cero, entonces O A = - x A . En general, estas afirmaciones son verdaderas para cualquier número real x A.

En resumen: la distancia desde el origen hasta el punto que corresponde a un número real en la recta de coordenadas es igual a:

• 0 si el punto coincide con el origen;

• xA, si xA > 0;

• - x A si x A< 0 .

En este caso, es obvio que la longitud del segmento en sí no puede ser negativa, por lo tanto, usando el signo del módulo, escribimos la distancia desde el punto O al punto A con la coordenada xA: O A = x A

La siguiente afirmación será cierta: la distancia de un punto a otro será igual al módulo de diferencia de coordenadas. Aquellos. para los puntos A y B que se encuentran en la misma línea de coordenadas para cualquier ubicación y que tienen coordenadas correspondientes xA Y x B: A B = x B - x A .

Datos iniciales: puntos A y B que se encuentran en un plano en un sistema de coordenadas rectangular O x y con coordenadas dadas: A (x A, y A) y B (x B, y B).

Dibujemos perpendiculares por los puntos A y B a los ejes de coordenadas O x y O y y obtengamos como resultado los puntos de proyección: A x, A y, B x, B y. Según la ubicación de los puntos A y B, son posibles las siguientes opciones:

Si los puntos A y B coinciden, entonces la distancia entre ellos es cero;

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O x (eje de abscisas), entonces los puntos coinciden y | A B | = | A y B y | . Dado que la distancia entre los puntos es igual al módulo de la diferencia de sus coordenadas, entonces A y B y = y B - y A y, por tanto, A B = A y B y = y B - y A.

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O y (eje de ordenadas), por analogía con el párrafo anterior: A B = A x B x = x B - x A

Si los puntos A y B no se encuentran en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, encontraremos la distancia entre ellos derivando la fórmula de cálculo:

Vemos que el triángulo A B C es de construcción rectangular. En este caso, A C = A x B x y B C = A y B y. Usando el teorema de Pitágoras, creamos la igualdad: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , y luego la transformamos: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Saquemos una conclusión del resultado obtenido: la distancia del punto A al punto B en el plano se determina mediante cálculo utilizando la fórmula utilizando las coordenadas de estos puntos.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

La fórmula resultante también confirma declaraciones formuladas previamente para casos de coincidencia de puntos o situaciones en las que los puntos se encuentran en líneas rectas perpendiculares a los ejes. Entonces, si los puntos A y B coinciden, se cumplirá la siguiente igualdad: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Para una situación en la que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Para el caso en que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje de ordenadas:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Datos iniciales: un sistema de coordenadas rectangular O x y z con puntos arbitrarios sobre él con las coordenadas dadas A (x A, y A, z A) y B (x B, y B, z B). Es necesario determinar la distancia entre estos puntos.

Consideremos el caso general en el que los puntos A y B no se encuentran en un plano paralelo a uno de los planos coordenados. Dibujemos planos perpendiculares a los ejes de coordenadas que pasen por los puntos A y B y obtengamos los puntos de proyección correspondientes: A x , A y , A z , B x , B y , B z

La distancia entre los puntos A y B es la diagonal del paralelepípedo resultante. Según la construcción de las medidas de este paralelepípedo: A x B x , A y B y y A z B z

Del curso de geometría sabemos que el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones. Con base en esta afirmación, obtenemos la igualdad: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Utilizando las conclusiones obtenidas anteriormente, escribimos lo siguiente:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformemos la expresión:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final fórmula para determinar la distancia entre puntos en el espacio se verá así:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

La fórmula resultante también es válida para los casos en que:

Los puntos coinciden;

Se encuentran en un eje de coordenadas o en una línea recta paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Ejemplos de resolución de problemas para encontrar la distancia entre puntos.

Ejemplo 1

Datos iniciales: se dan una línea de coordenadas y los puntos que se encuentran en ella con las coordenadas dadas A (1 - 2) y B (11 + 2). Es necesario encontrar la distancia desde el punto de origen O al punto A y entre los puntos A y B.

Solución

1. La distancia desde el punto de referencia al punto es igual al módulo de coordenadas de este punto, respectivamente O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Definimos la distancia entre los puntos A y B como el módulo de la diferencia entre las coordenadas de estos puntos: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Respuesta: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Ejemplo 2

Datos iniciales: se dan un sistema de coordenadas rectangular y dos puntos que se encuentran sobre él A (1, - 1) y B (λ + 1, 3). λ es algún número real. Es necesario encontrar todos los valores de este número a los que la distancia A B será igual a 5.

Solución

Para encontrar la distancia entre los puntos A y B, debes usar la fórmula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Sustituyendo los valores de las coordenadas reales, obtenemos: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

También usamos la condición existente de que A B = 5 y entonces la igualdad será verdadera:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Respuesta: A B = 5 si λ = ± 3.

Ejemplo 3

Datos iniciales: un espacio tridimensional se especifica en el sistema de coordenadas rectangular O x y z y los puntos A (1, 2, 3) y B - 7, - 2, 4 que se encuentran en él.

Solución

Para resolver el problema usamos la fórmula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Sustituyendo valores reales obtenemos: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Respuesta: | A B | = 9

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Matemáticas

§2. Coordenadas de un punto en el plano.

3. Distancia entre dos puntos.

Tú y yo ahora podemos hablar de puntos en el lenguaje de los números. Por ejemplo, ya no necesitamos explicar: tomemos un punto que esté tres unidades a la derecha del eje y cinco unidades debajo del eje. Baste decir simplemente: entendamos el punto.

Ya hemos dicho que esto genera ciertas ventajas. Así, podemos transmitir un dibujo formado por puntos por telégrafo, comunicarlo a una computadora, que no entiende los dibujos en absoluto, pero sí entiende bien los números.

En el párrafo anterior, definimos algunos conjuntos de puntos en el plano usando relaciones entre números. Ahora intentemos traducir consistentemente otros conceptos y hechos geométricos al lenguaje de los números.

Empezaremos con una tarea sencilla y común.

Encuentra la distancia entre dos puntos del plano.

Solución:
Como siempre, asumimos que los puntos vienen dados por sus coordenadas, y luego nuestra tarea es encontrar una regla mediante la cual podamos calcular la distancia entre puntos, conociendo sus coordenadas. Al deducir esta regla, por supuesto, se permite recurrir a un dibujo, pero la regla en sí no debe contener ninguna referencia al dibujo, sino que solo debe mostrar qué acciones y en qué orden se deben realizar en los números dados: las coordenadas. de los puntos - para obtener el número deseado - la distancia entre puntos.

Quizás algunos lectores encuentren este enfoque para resolver el problema extraño y descabellado. Lo que es más sencillo, dirán, los puntos vienen dados, incluso por coordenadas. Dibuja estos puntos, toma una regla y mide la distancia entre ellos.

Este método a veces no es tan malo. Sin embargo, imagine nuevamente que está tratando con una computadora. No tiene regla y no dibuja, pero puede contar tan rápido que no le supone ningún problema. Tenga en cuenta que nuestro problema está formulado de modo que la regla para calcular la distancia entre dos puntos consta de comandos que pueden ser ejecutados por una máquina.

Es mejor resolver primero el problema planteado para el caso especial en el que uno de estos puntos se encuentra en el origen de coordenadas. Comience con algunos ejemplos numéricos: encuentre la distancia desde el origen de los puntos; Y .

Nota. Utilice el teorema de Pitágoras.

Ahora escribe una fórmula general para calcular la distancia de un punto al origen.

La distancia de un punto al origen está determinada por la fórmula:

Evidentemente, la regla expresada por esta fórmula satisface las condiciones expuestas anteriormente. En particular, se puede utilizar en cálculos en máquinas que pueden multiplicar números, sumarlos y extraer raíces cuadradas.

Ahora resolvamos el problema general.

Dados dos puntos en un plano, encuentre la distancia entre ellos.

Solución:
Denotemos por , , , las proyecciones de puntos y sobre los ejes de coordenadas.

Denotamos el punto de intersección de las líneas con la letra. De un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras obtenemos:

Pero la longitud del segmento es igual a la longitud del segmento. Los puntos y , se encuentran en el eje y tienen coordenadas y , respectivamente. Según la fórmula obtenida en el apartado 3 del apartado 2, la distancia entre ellos es igual a .

Argumentando de manera similar, encontramos que la longitud del segmento es igual a . Sustituyendo los valores encontrados y en la fórmula obtenemos.

La resolución de problemas de matemáticas suele ir acompañada de muchas dificultades para los estudiantes. Ayudar al estudiante a enfrentar estas dificultades, así como enseñarle a aplicar sus conocimientos teóricos existentes al resolver problemas específicos en todas las secciones del curso en la materia "Matemáticas" es el objetivo principal de nuestro sitio.

Al comenzar a resolver problemas sobre el tema, los estudiantes deberían poder construir un punto en un plano usando sus coordenadas, así como encontrar las coordenadas de un punto determinado.

El cálculo de la distancia entre dos puntos A(x A; y A) y B(x B; y B) tomados en un plano se realiza mediante la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), donde d es la longitud del segmento que conecta estos puntos en el plano.

Si uno de los extremos del segmento coincide con el origen de coordenadas y el otro tiene coordenadas M(x M; y M), entonces la fórmula para calcular d tomará la forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Cálculo de la distancia entre dos puntos basándose en las coordenadas dadas de estos puntos.

Ejemplo 1.

Encuentre la longitud del segmento que conecta los puntos A(2; -5) y B(-4; 3) en el plano de coordenadas (Fig. 1).

Solución.

El planteamiento del problema establece: x A = 2; x B = -4; y A = -5 y y B = 3. Encuentre d.

Aplicando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obtenemos:

re = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Cálculo de las coordenadas de un punto que equidista de tres puntos dados

Ejemplo 2.

Encuentre las coordenadas del punto O 1, que es equidistante de tres puntos A(7; -1) y B(-2; 2) y C(-1; -5).

Solución.

De la formulación de las condiciones del problema se deduce que O 1 A = O 1 B = O 1 C. Sea el punto deseado O 1 que tenga coordenadas (a; b). Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Creemos un sistema de dos ecuaciones:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Después de elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones, escribimos:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Simplificando, escribamos

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Resolviendo el sistema, obtenemos: a = 2; b = -1.

El punto O 1 (2; -1) es equidistante de los tres puntos especificados en la condición que no se encuentran en la misma línea recta. Este punto es el centro de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. (Figura 2).

3. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a una distancia determinada de un punto determinado

Ejemplo 3.

La distancia desde el punto B(-5; 6) hasta el punto A que se encuentra en el eje Ox es 10. Encuentre el punto A.

Solución.

De la formulación de las condiciones del problema se deduce que la ordenada del punto A es igual a cero y AB = 10.

Denotando la abscisa del punto A por a, escribimos A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Obtenemos la ecuación √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificándola, tenemos

a 2 + 10a – 39 = 0.

Las raíces de esta ecuación son a 1 = -13; y 2 = 3.

Obtenemos dos puntos A 1 (-13; 0) y A 2 (3; 0).

Examen:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Ambos puntos obtenidos son adecuados según las condiciones del problema. (Fig. 3).

4. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a la misma distancia de dos puntos dados

Ejemplo 4.

Encuentre un punto en el eje Oy que esté a la misma distancia de los puntos A (6, 12) y B (-8, 10).

Solución.

Sean las coordenadas del punto requerido por las condiciones del problema, que se encuentra en el eje Oy, O 1 (0; b) (en el punto que se encuentra en el eje Oy, la abscisa es cero). De la condición se deduce que O 1 A = O 1 B.

Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Tenemos la ecuación √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) o 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Después de la simplificación obtenemos: b – 4 = 0, b = 4.

Punto O 1 (0; 4) requerido por las condiciones del problema (Figura 4).

5. Cálculo de las coordenadas de un punto que se encuentra a la misma distancia de los ejes de coordenadas y de algún punto dado.

Ejemplo 5.

Encuentre el punto M ubicado en el plano de coordenadas a la misma distancia de los ejes de coordenadas y del punto A(-2; 1).

Solución.

El punto M requerido, al igual que el punto A(-2; 1), se ubica en el segundo ángulo coordenado, ya que es equidistante de los puntos A, P 1 y P 2. (Figura 5). Las distancias del punto M a los ejes de coordenadas son las mismas, por lo tanto, sus coordenadas serán (-a; a), donde a > 0.

De las condiciones del problema se deduce que MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

aquellos. |-a| = a.

Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Hagamos una ecuación:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Después de elevar al cuadrado y simplificar tenemos: a 2 – 6a + 5 = 0. Resuelve la ecuación, encuentra a 1 = 1; y 2 = 5.

Obtenemos dos puntos M 1 (-1; 1) y M 2 (-5; 5) que satisfacen las condiciones del problema.

6. Cálculo de las coordenadas de un punto que se encuentra a la misma distancia especificada del eje de abscisas (ordenadas) y del punto dado.

Ejemplo 6.

Encuentre un punto M tal que su distancia desde el eje de ordenadas y desde el punto A(8; 6) sea igual a 5.

Solución.

De las condiciones del problema se deduce que MA = 5 y la abscisa del punto M es igual a 5. Sea la ordenada del punto M igual a b, entonces M(5; b) (Figura 6).

Según la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) tenemos:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Hagamos una ecuación:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificándolo, obtenemos: b 2 – 12b + 20 = 0. Las raíces de esta ecuación son b 1 = 2; b 2 = 10. En consecuencia, hay dos puntos que satisfacen las condiciones del problema: M 1 (5; 2) y M 2 (5; 10).

Se sabe que muchos estudiantes, a la hora de resolver problemas de forma independiente, necesitan consultas constantes sobre técnicas y métodos para resolverlos. A menudo, un estudiante no puede encontrar una manera de resolver un problema sin la ayuda de un maestro. El alumno puede recibir el asesoramiento necesario para la resolución de problemas en nuestra web.

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Teorema 1. Para dos puntos cualesquiera y un plano, la distancia entre ellos se expresa mediante la fórmula:

Por ejemplo, si se dan puntos y, entonces la distancia entre ellos es:

2. Área de un triángulo.

Teorema 2. Para cualquier punto

que no se encuentran en la misma línea recta, el área de un triángulo se expresa mediante la fórmula:

Por ejemplo, encontremos el área del triángulo formado por los puntos , y.

Comentario. Si el área de un triángulo es cero, esto significa que los puntos se encuentran en la misma recta.

3. División de un segmento en una proporción determinada.

Sea un segmento arbitrario en el plano y sea

– cualquier punto de este segmento distinto de los puntos finales. El número definido por la igualdad se llama actitud, en el que el punto divide el segmento.

El problema de dividir un segmento en una relación dada es: para una relación dada y coordenadas de puntos dadas

y encontrar las coordenadas del punto.

Teorema 3. Si un punto divide un segmento en una relación

, entonces las coordenadas de este punto están determinadas por las fórmulas: (1.3), donde están las coordenadas del punto y son las coordenadas del punto.

Consecuencia: si es el punto medio del segmento

, donde y, entonces (1.4) (desde).

Por ejemplo. Puntos y se dan. Encuentra las coordenadas de un punto que está dos veces más cerca que de

Solución: el punto requerido divide el segmento.

en relación con desde , Entonces ,, consiguió

Coordenadas polares

El más importante después del sistema de coordenadas rectangulares es el sistema de coordenadas polares. Consiste en un cierto punto llamado polo, y el rayo que emana de él - eje polar. Además, se establece la unidad de escala para medir las longitudes de los segmentos.

Sea un sistema de coordenadas polares y sea un punto arbitrario en el plano. Sea la distancia desde el punto

al punto ; – el ángulo en el que se debe girar el eje polar para alinearse con el haz.

Coordenadas polares de un punto. se llaman números. En este caso, el número se considera la primera coordenada y se llama radio polar, el número es la segunda coordenada y se llama ángulo polar.

Denotado por . El radio polar puede tener cualquier valor no negativo :. Se suele creer que el ángulo polar varía dentro de los siguientes límites:. Sin embargo, en algunos casos es necesario determinar ángulos medidos desde el eje polar en el sentido de las agujas del reloj.

La relación entre las coordenadas polares de un punto y sus coordenadas rectangulares.

Supondremos que el origen del sistema de coordenadas rectangular está en el polo y el semieje positivo de la abscisa coincide con el eje polar.

Sea – en un sistema de coordenadas rectangular y – en un sistema de coordenadas polares. Definido – triángulo rectángulo c. Entonces (1.5). Estas fórmulas expresan coordenadas rectangulares en términos de polares.

Por otra parte, según el teorema de Pitágoras y

(1.6) – estas fórmulas expresan coordenadas polares mediante coordenadas rectangulares.

Tenga en cuenta que la fórmula define dos valores del ángulo polar, ya que. De estos dos valores de ángulo, elija aquel en el que se cumplan las igualdades.

Por ejemplo, busquemos las coordenadas polares del punto ..o, porque cuarteto.

Ejemplo 1: Encuentra un punto simétrico a un punto.

Relativo a la bisectriz del primer ángulo coordenado.

Solución:

Dibujemos el punto A directo yo 1, perpendicular a la bisectriz yo primer ángulo coordenado. Dejar . En linea recta yo 1 dejar a un lado el segmento SA 1 , igual al segmento C.A. Triángulos Rectángulos ASO Y A 1 CO iguales entre sí (en dos lados). De ello se deduce que | OA| = |O.A. 1 |. triangulos ALHARACA Y OEA 1 también son iguales entre sí (por hipotenusa y ángulo agudo). Concluimos que |ANUNCIO| = |OE| = 4,|OD| = |EA 1 | = 2, es decir el punto tiene coordenadas x = 4, y = -2, aquellos. A 1 (4;-2).

Tenga en cuenta que hay una afirmación general: punto A 1, simétrico al punto relativo a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado, tiene coordenadas, es decir .

Ejemplo 2: Encuentre el punto en el que una recta que pasa por los puntos y , cortará el eje Oh.

Solución:

Coordenadas del punto deseado. CON Hay ( X; 0). Y desde los puntos A,EN Y CON se encuentran en la misma línea recta, entonces se debe cumplir la condición (X 2 -X 1 )(y 3 -y 1 )-(X 3 -X 1 )(y 2 -y 1 ) = 0 (fórmula (1.2), área del triángulo A B C¡igual a cero!), donde están las coordenadas del punto A, - puntos EN, - puntos CON. Obtenemos, es decir, , . Por lo tanto, el punto CON tiene coordenadas,, es decir.

Ejemplo 3: En el sistema de coordenadas polares, se dan puntos. Encontrar: A) distancia entre puntos y ; b) área del triángulo om 1 METRO 2 (ACERCA DE– polo).

Solución:

a) Utilicemos las fórmulas (1.1) y (1.5):

eso es, .

b) usando la fórmula para el área de un triángulo con lados A Y b y el ángulo entre ellos (), encontramos el área del triángulo om 1 METRO 2 . .

Calcular distancias entre puntos en función de sus coordenadas en un plano es elemental; en la superficie terrestre es un poco más complicado: consideraremos medir la distancia y el azimut inicial entre puntos sin transformaciones de proyección. Primero, comprendamos la terminología.

Introducción

Longitud del arco de gran círculo– la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera ubicados en la superficie de una esfera, medida a lo largo de la línea que conecta estos dos puntos (esta línea se llama ortodromía) y que pasa a lo largo de la superficie de la esfera u otra superficie de rotación. La geometría esférica es diferente de la geometría euclidiana normal y las ecuaciones de distancia también adoptan una forma diferente. En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. En una esfera no hay líneas rectas. Estas líneas en la esfera son parte de círculos máximos, círculos cuyos centros coinciden con el centro de la esfera. Azimut inicial- azimut, tomando el cual al comenzar a moverse desde el punto A, siguiendo un gran círculo por la distancia más corta hasta el punto B, el punto final será el punto B. Al moverse del punto A al punto B a lo largo de la línea del gran círculo, el azimut de la posición actual hasta el punto final B es constante y está cambiando. El acimut inicial es diferente del constante, tras lo cual el acimut desde el punto actual hasta el punto final no cambia, pero la ruta seguida no es la distancia más corta entre dos puntos.

A través de dos puntos cualesquiera en la superficie de una esfera, si no son directamente opuestos entre sí (es decir, no son antípodas), se puede dibujar un círculo máximo único. Dos puntos dividen un círculo grande en dos arcos. La longitud de un arco corto es la distancia más corta entre dos puntos. Se puede dibujar un número infinito de círculos grandes entre dos puntos antípodas, pero la distancia entre ellos será la misma en cualquier círculo e igual a la mitad de la circunferencia del círculo, o π*R, donde R es el radio de la esfera.

En un plano (en un sistema de coordenadas rectangular), los círculos grandes y sus fragmentos, como se mencionó anteriormente, representan arcos en todas las proyecciones excepto en la gnomónica, donde los círculos grandes son líneas rectas. En la práctica, esto significa que los aviones y otros medios de transporte aéreo siempre utilizan la ruta de la distancia mínima entre puntos para ahorrar combustible, es decir, el vuelo se realiza a lo largo de un gran círculo, en un avión parece un arco.

La forma de la Tierra se puede describir como una esfera, por lo que las ecuaciones de distancia del círculo máximo son importantes para calcular la distancia más corta entre puntos de la superficie de la Tierra y se utilizan a menudo en la navegación. Calcular la distancia con este método es más eficiente y en muchos casos más preciso que calcularla para coordenadas proyectadas (en sistemas de coordenadas rectangulares), ya que, en primer lugar, no requiere convertir las coordenadas geográficas a un sistema de coordenadas rectangulares (realizar transformaciones de proyección) y , en segundo lugar, muchas proyecciones, si se seleccionan incorrectamente, pueden provocar distorsiones de longitud significativas debido a la naturaleza de las distorsiones de las proyecciones. Se sabe que no es una esfera, sino un elipsoide que describe con mayor precisión la forma de la Tierra, sin embargo, este artículo trata del cálculo de distancias específicamente sobre una esfera para los cálculos se utiliza una esfera con un radio de 6.372.795 metros; , lo que puede dar lugar a un error en el cálculo de distancias del orden del 0,5%.

Fórmulas

Hay tres formas de calcular la distancia esférica del círculo máximo. 1. Teorema del coseno esférico En el caso de distancias pequeñas y poca profundidad de cálculo (número de decimales), el uso de la fórmula puede provocar errores de redondeo importantes. φ1, λ1; φ2, λ2 - latitud y longitud de dos puntos en radianes Δλ - diferencia de coordenadas en longitud Δδ - diferencia angular Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Para convertir la distancia angular a métrica, necesita multiplica la diferencia angular por el radio terrestre (6372795 metros), las unidades de la distancia final serán iguales a las unidades en las que se expresa el radio (en este caso, metros). 2. Fórmula de Haversina Se utiliza para evitar problemas con distancias cortas. 3. Modificación para las antípodas La fórmula anterior también está sujeta al problema de los puntos antípodas; para resolverlo se utiliza la siguiente modificación.

Mi implementación en PHP

// Radio de la Tierra define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distancia entre dos puntos * $φA, $λA - latitud, longitud del primer punto, * $φB, $λB - latitud, longitud del segundo punto * Escrito en base a http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mijaíl Kobzarev< >* */ función calcularLaDistancia ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // convierte coordenadas a radianes $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosenos y senos de latitudes y longitudes $cl1 = cos($sl2 = sin($lat2); long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; = 77,1539; $largo1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $largo2 = -139,55; echo calcularLaDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metros"; // Devuelve "17166029 metros"

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