Primjeri numeričkih intervala. Brojčani intervali. Glavne karakteristike funkcije: monotonost, parnost, periodičnost

• otvorena brojna greda;
• greda broja;
• interval;
• poluinterval

Radi praktičnosti, sažimamo sve podatke o numeričkim intervalima u tablici. Unesite u njega naziv numeričkog intervala, odgovarajuću nejednakost, oznaku i sliku na koordinatnoj liniji. Dobivamo sljedeće tablica numeričkih intervala:

Reference.

• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio/la S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 sata 1. dio. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Numerički intervali uključuju zrake, segmente, intervale i poluintervale.

Vrste numeričkih intervala

U tablici a I b su granične točke, i x- varijabla koja može uzeti koordinatu bilo koje točke koja pripada numeričkom intervalu.

Granična točka- ovo je točka koja definira granicu numeričkog intervala. Granična točka može i ne mora pripadati numeričkom intervalu. Na crtežima su rubne točke koje ne pripadaju razmatranom numeričkom intervalu označene otvorenim krugom, a one koje im pripadaju označene su ispunjenim krugom.

Otvorena i zatvorena greda

Otvorena greda je skup točaka na liniji koja leži s jedne strane granične točke koja nije uključena u ovaj skup. Zraka se naziva otvorenom upravo zbog granične točke koja joj ne pripada.

Razmotrimo skup točaka na koordinatnoj liniji koje imaju koordinatu veću od 2, i stoga se nalaze desno od točke 2:

Takav se skup može definirati nejednakošću x> 2. Otvorene zrake označene su zagradama - (2; +∞), ovaj unos glasi ovako: otvorena numerička zraka od dva do plus beskonačno.

Skup kojem odgovara nejednadžba x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Zatvorena greda je skup točaka na liniji koja leži s jedne strane granične točke koja pripada danom skupu. Na crtežima su granične točke koje pripadaju skupu koji se razmatra označene ispunjenim krugom.

Zatvorene brojevne zrake definirane su nestriktnim nejednadžbama. Na primjer, nejednakosti x 2 i x 2 može se prikazati ovako:

Ove zatvorene zrake označavaju se na sljedeći način: , čita se ovako: brojčana zraka od dva do plus beskonačno i brojčana zraka od minus beskonačno do dva. Uglata zagrada u oznaci označava da točka 2 pripada numeričkom intervalu.

Segment

Segment je skup točaka na liniji koja leži između dvije granične točke koje pripadaju danom skupu. Takvi skupovi definirani su dvostrukim nestriktnim nejednadžbama.

Razmotrimo segment koordinatne linije s krajevima u točkama -2 i 3:

Skup točaka koje čine dani segment može se specificirati dvostrukom nejednakošću -2 x 3 ili označite [-2; 3], takav zapis glasi ovako: segment od minus dva do tri.

Interval i poluinterval

Interval- ovo je skup točaka na liniji koja leži između dvije granične točke koje ne pripadaju ovom skupu. Takvi skupovi definirani su dvostrukim striktnim nejednakostima.

Razmotrimo segment koordinatne linije s krajevima u točkama -2 i 3:

Skup točaka koje čine zadani interval može se odrediti dvostrukom nejednakošću -2< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Poluinterval je skup točaka na liniji koja leži između dvije granične točke, od kojih jedna pripada skupu, a druga ne. Takvi skupovi definirani su dvostrukim nejednakostima:

Ovi poluintervali označeni su na sljedeći način: (-2; 3] i [-2; 3]. Ona glasi ovako: poluinterval od minus dva do tri, uključujući 3, i poluinterval od minus dva do tri, uključujući minus dva.

B) Brojevna crta

Razmotrimo brojevnu liniju (slika 6):

Razmotrimo skup racionalnih brojeva

Svaki racionalni broj predstavljen je određenom točkom na brojevnoj osi. Dakle, brojevi su označeni na slici.

Dokažimo to.

Dokaz. Neka je razlomak: . Imamo pravo ovaj razlomak smatrati nesvodivim. Budući da je , tada je - broj paran: - neparan. Zamjenom njegovog izraza nalazimo: , što implicira da je to paran broj. Dobili smo kontradikciju koja dokazuje tvrdnju.

Dakle, ne predstavljaju sve točke na brojevnoj osi racionalne brojeve. One točke koje ne predstavljaju racionalne brojeve predstavljaju brojeve tzv iracionalan.

Bilo koji broj oblika , , je ili cijeli ili iracionalan broj.

Brojčani intervali

Brojevne odsječke, intervale, poluintervale i zrake nazivamo brojevnim intervalima.

Predstavimo brojeve na koordinatnoj liniji a I b, kao i broj x između njih.

Skup svih brojeva koji zadovoljavaju uvjet a ≤ x ≤ b, nazvao numerički segment ili samo segment. Označava se na sljedeći način: [ a; b] - Čita se ovako: segment od a do b.

Skup brojeva koji zadovoljavaju uvjet a< x < b , nazvao interval. Označava se na sljedeći način: ( a; b)

Ona glasi ovako: interval od a do b.

Skupovi brojeva koji zadovoljavaju uvjete a ≤ x< b или a<x ≤ b, nazivaju se poluintervalima. Oznake:

Postavite a ≤ x< b обозначается так:[a; b), glasi ovako: poluinterval od a do b, uključujući a.

Mnogi a<x ≤ b naznačeno je kako slijedi:( a; b], glasi ovako: poluinterval od a do b, uključujući b.

Sada zamislimo greda s točkom a, desno i lijevo od kojih se nalazi niz brojeva.

a, ispunjavanje uvjeta x ≥ a, nazvao numerički snop.

Označava se na sljedeći način: [ a; +∞)-Čita se ovako: brojevna zraka iz a do plus beskonačno.

Skup brojeva desno od točke a, što odgovara nejednakosti x>a, nazvao otvorena brojna greda.

Označava se na sljedeći način: ( a; +∞)-Čita se ovako: otvorena brojčana zraka iz a do plus beskonačno.

a, ispunjavanje uvjeta x ≤ a, nazvao numerička zraka od minus beskonačnosti doa .

Označava se na sljedeći način:( - ∞; a]-Čita se ovako: brojčana zraka od minus beskonačnosti do a.

Skup brojeva lijevo od točke a, što odgovara nejednakosti x< a , nazvao otvorena brojčana zraka od minus beskonačnosti doa .

Označava se na sljedeći način: ( - ∞; a)-Čita se ovako: otvorena brojevna zraka od minus beskonačnosti do a.

Skup realnih brojeva prikazuje se cijelom koordinatnom crtom. Zovu ga brojevni pravac. Označava se na sljedeći način: ( - ∞; + ∞ )

3) Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom varijablom, njihova rješenja:

Jednadžba koja sadrži varijablu naziva se jednadžba s jednom varijablom ili jednadžba s jednom nepoznanicom. Na primjer, jednadžba s jednom varijablom je 3(2x+7)=4x-1.

Korijen ili rješenje jednadžbe je vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava numerička jednakost. Na primjer, broj 1 je rješenje jednadžbe 2x+5=8x-1. Jednadžba x2+1=0 nema rješenja, jer lijeva strana jednadžbe uvijek je veća od nule. Jednadžba (x+3)(x-4) =0 ima dva korijena: x1= -3, x2=4.

Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili dokazati da korijena nema.

Jednadžbe se nazivaju ekvivalentnim ako su svi korijeni prve jednadžbe korijeni druge jednadžbe i obrnuto, svi korijeni druge jednadžbe su korijeni prve jednadžbe ili ako obje jednadžbe nemaju korijena. Na primjer, jednadžbe x-8=2 i x+10=20 su ekvivalentne, jer korijen prve jednadžbe x=10 je također korijen druge jednadžbe, a obje jednadžbe imaju isti korijen.

Pri rješavanju jednadžbi koriste se sljedeća svojstva:

Premjestite li član u jednadžbi iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna zadanoj.

Ako se obje strane jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.

Jednadžba ax=b, gdje je x varijabla, a a i b neki brojevi, naziva se linearna jednadžba s jednom varijablom.

Ako je a¹0, tada jednadžba ima jedinstveno rješenje.

Ako je a=0, b=0, tada je jednadžba zadovoljena za bilo koju vrijednost x.

Ako je a=0, b¹0, onda jednadžba nema rješenja, jer 0x=b se ne izvršava ni za jednu vrijednost varijable.
Primjer 1. Riješite jednadžbu: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Otvorimo zagrade na obje strane jednadžbe, premjestimo sve članove s x na lijevu stranu jednadžbe, a članove koji ne sadrže x na desnu stranu, dobivamo:

16x-15x=88-40-12

Primjer 2. Riješite jednadžbe:

x3-2x2-98x+18=0;

Ove jednadžbe nisu linearne, ali ćemo pokazati kako se takve jednadžbe mogu riješiti.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Umnožak je jednak nuli, ako je jedan od faktora jednak nuli, dobivamo x1=0; x2= .

Odgovor: 0; .

Faktorirajte lijevu stranu jednadžbe:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), tj. (x-2)(x-3)(x+3)=0. To pokazuje da su rješenja ove jednadžbe brojevi x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Zamislite 7x kao 3x+4x, tada imamo: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, dakle x1=-3, x2=- 4.

Odgovor: -3; - 4.
Primjer 3. Riješite jednadžbu: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Prisjetimo se definicije modula broja:

Na primjer: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

U ovoj jednadžbi ispod znaka modula su brojevi x-1 i x+1. Ako je x manji od –1, tada je broj x+1 negativan, tada je ½x+1½=-x-1. A ako je x>-1, tada je ½x+1½=x+1. Na x=-1 ½x+1½=0.

dakle,

Također

a) Razmotrimo ovu jednadžbu½x+1½+½x-1½=3 za x £-1, ona je ekvivalentna jednadžbi -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, ovaj broj pripada skupu x -1 funti.

b) Neka je -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Razmotrimo slučaj x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Ovaj broj pripada skupu x>1.

Odgovor: x1=-1,5; x2=1,5.
Primjer 4. Riješite jednadžbu:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Pokažimo kratki zapis rješenja jednadžbe, otkrivajući predznak modula “preko intervala”.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2O(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2P(1; +¥)

Odgovor: [-2; 0]
Primjer 5. Riješite jednadžbu: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), za sve vrijednosti parametra a.

U ovoj jednadžbi zapravo postoje dvije varijable, ali smatrajte da je x nepoznanica, a a parametar. Za bilo koju vrijednost parametra a potrebno je riješiti jednadžbu za varijablu x.

Ako je a=1, onda jednadžba ima oblik 0×x=0; bilo koji broj zadovoljava ovu jednadžbu.

Ako je a=-1, onda jednadžba izgleda kao 0×x=-2; niti jedan broj ne zadovoljava ovu jednadžbu.

Ako je a¹1, a¹-1, tada jednadžba ima jedinstveno rješenje.

Odgovor: ako je a=1, onda je x bilo koji broj;

ako je a=-1, onda nema rješenja;

ako je a¹±1, tada .

B) Linearne nejednadžbe s jednom varijablom.

Ako se varijabli x da bilo koja numerička vrijednost, tada dobivamo numeričku nejednakost koja izražava bilo točnu ili netočnu tvrdnju. Neka je, na primjer, dana nejednakost 5x-1>3x+2. Za x=2 dobivamo 5·2-1>3·2+2 – točna tvrdnja (istinita numerička tvrdnja); za x=0 dobivamo 5·0-1>3·0+2 – pogrešna tvrdnja. Svaka vrijednost varijable kod koje se zadana nejednadžba s varijablom pretvara u pravu numeričku nejednadžbu naziva se rješenjem nejednadžbe. Rješavanje nejednadžbe s varijablom znači pronalaženje skupa svih njezinih rješenja.

Za dvije nejednadžbe s istom varijablom x kaže se da su ekvivalentne ako se skupovi rješenja tih nejednadžbi podudaraju.

Glavna ideja rješavanja nejednakosti je sljedeća: zadanu nejednadžbu zamijenimo drugom, jednostavnijom, ali ekvivalentnom zadanoj; ponovno zamjenjujemo dobivenu nejednadžbu s njoj ekvivalentnom jednostavnijom nejednadžbom itd.

Takve se zamjene vrše na temelju sljedećih izjava.

Teorem 1. Ako se bilo koji član nejednadžbe s jednom varijablom prenese iz jednog dijela nejednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom, a da se predznak nejednadžbe ne promijeni, tada će se dobiti nejednadžba ekvivalentna zadanoj.

Teorem 2. Ako se obje strane nejednadžbe s jednom varijablom pomnože ili podijele istim pozitivnim brojem, a predznak nejednadžbe ostane nepromijenjen, tada će se dobiti nejednadžba ekvivalentna danoj.

Teorem 3. Ako obje strane nejednadžbe s jednom varijablom pomnožimo ili podijelimo s istim negativnim brojem, a predznak nejednadžbe promijenimo u suprotan, tada će se dobiti nejednadžba ekvivalentna danoj.

Nejednadžba oblika ax+b>0 naziva se linearnom (odnosno ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Primjer 1. Riješite nejednadžbu: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Otvaranjem zagrada dobivamo 2x-6+5-5x³6x-15,

Među skupovima brojeva postoje skupovi u kojima su objekti numerički intervali. Kod indikacije skupa lakše je odrediti interval. Stoga skupove rješenja zapisujemo pomoću numeričkih intervala.

Ovaj članak daje odgovore na pitanja o numeričkim intervalima, nazivima, oznakama, slikama intervala na koordinatnoj liniji i korespondenciji nejednakosti. Na kraju će se raspravljati o tablici praznina.

Svaki numerički interval karakterizira:

• ime;
• prisutnost obične ili dvostruke nejednakosti;
• oznaka;
• geometrijska slika na ravnoj koordinati.

Numerički interval se navodi pomoću bilo koje 3 metode s gornjeg popisa. To jest, kada se koristi nejednakost, zapis, slika na koordinatnoj liniji. Ova metoda je najprimjenjivija.

Opišimo numeričke intervale s gore navedenim stranama:

Definicija 2

• Otvoreni snop brojeva. Naziv dolazi od činjenice da je izostavljen, ostavljajući ga otvorenim.

Ovaj interval ima odgovarajuće nejednakosti x< a или x >a , gdje je a neki realni broj. Odnosno, na takvoj zraci postoje svi realni brojevi koji su manji od a - (x< a) или больше a - (x >a) .

Skup brojeva koji će zadovoljiti nejednakost oblika x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a kao (a , + ∞) .

Geometrijsko značenje otvorene zrake uzima u obzir prisutnost numeričkog intervala. Između točaka koordinatnog pravca i njegovih brojeva postoji podudarnost, zbog čega se pravac naziva koordinatni pravac. Ako trebate usporediti brojeve, tada je na koordinatnoj liniji veći broj s desne strane. Tada je nejednadžba oblika x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – točke koje su desno. Sam broj nije prikladan za rješenje pa je na crtežu označen izbušenom točkom. Potreban razmak je istaknut sjenčanjem. Razmotrite sliku u nastavku.

Iz gornje slike jasno je da brojčani intervali odgovaraju dijelovima pravca, odnosno zrakama s početkom na a. Drugim riječima, zovu se zrake bez početka. Zato je i dobio naziv otvorena brojčana greda.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1

Uz strogu nejednakost x > − 3, zadana je otvorena greda. Taj se unos može prikazati u obliku koordinata (− 3, ∞). Odnosno, sve su to točke koje leže desno od -3.

Primjer 2

Ako imamo nejednadžbu oblika x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Definicija 3

• Brojna greda. Geometrijsko značenje je da se početak ne odbacuje, drugim riječima, zraka zadržava svoju korisnost.

Njegova se zadaća provodi korištenjem nestriktnih nejednakosti oblika x ≤ a ili x ≥ a. Za ovaj tip prihvaćaju se posebni zapisi oblika (− ∞, a ] i [ a , + ∞), a prisutnost uglate zagrade znači da je točka uključena u rješenje ili u skup. Razmotrite sliku u nastavku.