Dom Fotogalerije

Kako se zove 10 na stoti potenciju? Matematika, koju volim. Mersenneovi prosti brojevi

Povijest pojma

Googol je veći od broja čestica u poznatom dijelu Svemira, kojih prema različitim procjenama ima od 10 79 do 10 81, što također ograničava njegovu upotrebu.

Zaklada Wikimedia.

2010.

Pogledajte što je "Googol" u drugim rječnicima:

Googolplex (od engleskog googolplex) broj predstavljen jedinicom s gugolom nula, 1010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 0 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kao Google,... ... Wikipedia

Ovaj članak govori o brojevima. Vidi i članak o engleskom. googol) broj predstavljen jedinicom sa 100 nula u decimalnom sustavu: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 0 0 000 000 000 000 000 ... Wikipedia

- (od engleskog googolplex) broj jednak deset na googol: 1010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Kao i googol, izraz ... ... Wikipedia

Ovaj članak može sadržavati izvorno istraživanje. Dodajte poveznice na izvore, inače bi moglo biti postavljeno za brisanje. Više informacija može biti na stranici za razgovor. (13. svibnja 2011.) ... Wikipedia

Gogol mogol je slastica čiji su glavni sastojci umućeni žumanjak sa šećerom. Postoje mnoge varijacije ovog pića: s dodatkom vina, vanilina, ruma, kruha, meda, voćnih i bobičastih sokova. Često se koristi kao tretman... Wikipedia

Nominalna imena potencija tisućice u rastućem redoslijedu Ime Značenje Američki sustav Europski sustav tisuća 10³ 10³ milijuna 106 106 milijardi 109 109 milijardi 109 1012 bilijuna 1012 ... Wikipedia

knjige

Magija svijeta. Fantastičan roman i priče, Vladimir Sigismundovich Vechfinsky. Roman "Magija svemira". Zemaljski čarobnjak, zajedno s bajkovitim junacima Vasilisom, Koščejem, Goriničem i bajkovitim mačkom, bori se protiv sile koja želi preuzeti Galaksiju. ZBIRKA PRIČA Gdje... Kao dijete me najviše mučilo pitanje što, i gotovo sve sam mučila ovim glupim pitanjem. Naučivši broj milijun, pitao sam postoji li broj veći od milijun. milijardu? Što kažete na više od milijarde? Trilijun? Što kažete na više od trilijuna? Napokon se našao netko pametan da mi objasni da je pitanje glupo, jer dovoljno je najvećem broju dodati samo jedan, pa ispada da nikad nije bio najveći, jer postoje i veći brojevi.

I tako, mnogo godina kasnije, odlučio sam sebi postaviti još jedno pitanje, naime: Koji je najveći broj koji ima svoje ime? Srećom, sada postoji internet i njime možete zagonetati strpljive tražilice koje moja pitanja neće nazvati idiotskim ;-). Zapravo, to je ono što sam učinio, a to je ono što sam saznao kao rezultat.

Broj	latinski naziv	ruski prefiks
1	unus	an-
2	duo	duo-
3	tres	tri-
4	quattuor	kvadri-
5	quinque	kvinti-
6	seks	sexdeset
7	rujan	septi-
8	okto	okti-
9	novem	noni-
10	prosinac	odlučiti

Postoje dva sustava za imenovanje brojeva - američki i engleski.

Američki sustav izgrađen je vrlo jednostavno. Svi nazivi velikih brojeva grade se ovako: na početku je latinski redni broj, a na kraju mu se dodaje sufiks -milijun. Iznimka je naziv "milijun" koji je naziv broja tisuća (lat. mille) i povećalni sufiks -illion (vidi tablicu). Tako dobivamo brojeve trilijun, kvadrilijun, kvintilijun, sekstilijun, septilijun, oktilion, nonilijun i decilijun. Američki sustav koristi se u SAD-u, Kanadi, Francuskoj i Rusiji. Broj nula u broju napisanom prema američkom sustavu možete saznati pomoću jednostavne formule 3 x + 3 (gdje je x latinski broj).

Engleski sustav imenovanja je najčešći u svijetu. Koristi se, primjerice, u Velikoj Britaniji i Španjolskoj, kao i u većini bivših engleskih i španjolskih kolonija. Imena brojeva u ovom sustavu grade se ovako: ovako: sufiks -milijun dodaje se latinskom broju, sljedeći broj (1000 puta veći) gradi se po principu - isti latinski broj, ali sufiks - milijardi kuna. Odnosno, nakon trilijuna u engleskom sustavu ide bilijun, pa tek onda kvadrilijun, pa kvadrilijun itd. Dakle, kvadrilijun po engleskom i američkom sustavu potpuno su različite brojke! Broj nula u broju napisanom prema engleskom sustavu koji završava sufiksom -milijun možete saznati pomoću formule 6 x + 3 (gdje je x latinski broj) i pomoću formule 6 x + 6 za brojeve završava na - milijardu.

Iz engleskog sustava u ruski je prešao samo broj milijarda (10 9), koji bi ipak bilo ispravnije zvati kako ga Amerikanci zovu - bilijun, budući da smo prihvatili američki sustav. Ali tko kod nas išta radi po pravilima! ;-) Usput, ponekad se riječ trilijun koristi u ruskom (možete se sami uvjeriti ako pretražite Google ili Yandex) i čini se da znači 1000 bilijuna, tj. kvadrilijun.

Osim brojeva koji se pišu latiničnim prefiksima prema američkom ili engleskom sustavu, poznati su i tzv. nesistemski brojevi, tj. brojevi koji imaju vlastita imena bez ikakvih latinskih prefiksa. Postoji nekoliko takvih brojeva, ali o njima ću vam reći nešto kasnije.

Vratimo se pisanju latiničnim brojevima. Čini se da mogu zapisivati brojeve do beskonačnosti, ali to nije sasvim točno. Sada ću objasniti zašto. Pogledajmo prvo kako se zovu brojevi od 1 do 10 33:

Ime	Broj
Jedinica	10 0
Deset	10 1
Stotinu	10 2
tisuću	10 3
milijun	10 6
milijarda	10 9
bilijun	10 12
kvadrilijun	10 15
Quintillion	10 18
Sextillion	10 21
Septillion	10 24
Oktilion	10 27
Quintillion	10 30
Decillion	10 33

I sad se postavlja pitanje što dalje. Što je iza deciliona? U principu, moguće je, naravno, kombiniranjem prefiksa generirati takva čudovišta kao što su: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion i novemdecillion, ali to će već biti složena imena, a nas je zanimalo naša vlastita imena brojevi. Dakle, prema ovom sustavu, osim gore navedenih, još uvijek možete dobiti samo tri vlastita imena - vigintillion (od lat. viginti- dvadeset), centilijun (od lat. centum- sto) i milijun (od lat. mille- tisuća). Rimljani nisu imali više od tisuću vlastitih naziva za brojeve (svi brojevi iznad tisuću bili su složeni). Na primjer, Rimljani su nazivali milijun (1.000.000) decies centena milia, odnosno "deset stotina tisuća". A sada, zapravo, tablica:

Dakle, prema takvom sustavu nemoguće je dobiti brojeve veće od 10 3003, koji bi imali svoj, nesloženi naziv! Ali ipak su poznati brojevi veći od milijun - to su isti nesustavni brojevi. Razgovarajmo konačno o njima.

Ime	Broj
Bezbroj	10 4
Google	10 100
Asankheya	10 140
Googolplex	10 10 100
Drugi Skewesov broj	10 10 10 1000
Mega	2 (u Moserovoj notaciji)
Megiston	10 (u Moserovoj notaciji)
Moser	2 (u Moserovoj notaciji)
Grahamov broj	G 63 (u Grahamovoj notaciji)
Stasplex	G 100 (u Graham notaciji)

Najmanji takav broj je bezbroj(ima ga čak i u Dahlovom rječniku), što znači stotinu stotina, odnosno 10 000. Ova je riječ, doduše, zastarjela i praktički se ne koristi, ali je zanimljivo da je u širokoj upotrebi riječ "mirijade", koja ne znači uopće određeni broj, ali bezbrojne, neprebrojive množine nečega. Vjeruje se da je riječ mirijad došla u europske jezike iz starog Egipta.

Google(od engleskog googol) je broj deset na stoti potenciju, odnosno jedinica iza koje slijedi sto nula. O “googolu” je prvi put pisano 1938. godine u članku “Nova imena u matematici” u siječanjskom broju časopisa Scripta Mathematica američkog matematičara Edwarda Kasnera. Prema njegovim riječima, njegov devetogodišnji nećak Milton Sirotta predložio je da se veliki broj nazove "googol". Ovaj broj postao je općepoznat zahvaljujući tražilici nazvanoj po njemu. Google. Imajte na umu da je "Google". zaštitni znak, a googol je broj.

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutra, koja datira iz 100. godine prije Krista, pojavljuje se broj asankheya(iz Kine asenzi- nebrojeno), jednako 10 140. Vjeruje se da je taj broj jednak broju kozmičkih ciklusa potrebnih za postizanje nirvane.

Googolplex(Engleski) googolplex) - broj koji su također izmislili Kasner i njegov nećak i koji znači jedan s gugolom nula, odnosno 10 10 100. Ovako sam Kasner opisuje ovo “otkriće”:

Mudre riječi djeca izgovaraju barem jednako često kao i znanstvenici. Ime "googol" izmislilo je dijete (devetogodišnji nećak dr. Kasnera) koje je zamoljeno da smisli ime za vrlo veliki broj, naime, 1 sa stotinu nula iza njega. Bio je vrlo siguran u to ovaj broj nije bio beskonačan, i stoga je jednako sigurno da je morao imati ime. U isto vrijeme kada je predložio "googol" dao je ime za još veći broj: "Googolplex je mnogo veći od googola." ali je još uvijek konačan, kao što je izumitelj imena brzo istaknuo.

Matematika i mašta(1940.) Kasnera i Jamesa R. Newmana.

Čak i veći broj od googolplexa, Skewesov broj, predložio je Skewes 1933. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) u dokazivanju Riemannove hipoteze o prostim brojevima. znači e do stupnja e do stupnja e na potenciju 79, odnosno e e e 79. Kasnije, te Riele, H. J. J. "O znaku razlike P(x)-Li(x)." matematika Računanje. 48 , 323-328, 1987) smanjio je Skuseov broj na e e 27/4, što je približno jednako 8,185 10 370. Jasno je da budući da vrijednost Skuseovog broja ovisi o broju e, onda nije cijeli broj, pa ga nećemo razmatrati, inače bismo morali pamtiti druge neprirodne brojeve - pi, e, Avogadrov broj itd.

Ali treba napomenuti da postoji drugi Skuseov broj, koji se u matematici označava kao Sk 2, koji je čak i veći od prvog Skuseovog broja (Sk 1). Drugi Skewesov broj, uveo je J. Skuse u istom članku da označi broj do kojeg vrijedi Riemannova hipoteza. Sk 2 je jednako 10 10 10 10 3, odnosno 10 10 10 1000.

Kao što razumijete, što je više stupnjeva, to je teže razumjeti koji je broj veći. Na primjer, gledajući Skewesove brojeve, bez posebnih izračuna, gotovo je nemoguće shvatiti koji je od ova dva broja veći. Stoga, za super-velike brojeve postaje nezgodno koristiti potencije. Štoviše, možete doći do takvih brojeva (i oni su već izmišljeni) kada stupnjevi stupnjeva jednostavno ne stanu na stranicu. Da, to je na stranici! Neće stati ni u knjigu veličine cijelog Svemira! U tom slučaju postavlja se pitanje kako ih zapisati. Problem je, kao što razumijete, rješiv, a matematičari su razvili nekoliko principa za pisanje takvih brojeva. Istina, svaki matematičar koji se bavio ovim problemom smislio je svoj način pisanja, što je dovelo do postojanja nekoliko, međusobno nepovezanih, metoda zapisivanja brojeva - to su zapisi Knuta, Conwaya, Steinhousea itd.

Razmotrite zapis Huga Stenhousea (H. Steinhaus. Matematičke snimke, 3. izd. 1983), što je prilično jednostavno. Stein House je predložio pisanje velikih brojeva unutar geometrijskih figura - trokut, kvadrat i krug:

Steinhouse je smislio dva nova supervelika broja. Nazvao je broj - Mega, a broj je Megiston.

Matematičar Leo Moser doradio je Stenhouseovu notaciju, koja je bila ograničena činjenicom da su se pojavile poteškoće i neugodnosti, ako je trebalo zapisati brojeve mnogo veće od megistona, jer je trebalo ucrtati mnogo krugova jedan u drugi. Moser je predložio da se nakon kvadrata ne nacrtaju krugovi, već peterokuti, zatim šesterokuti i tako dalje. Također je predložio formalnu notaciju za te poligone kako bi se brojevi mogli pisati bez crtanja kompliciranih slika. Moserova notacija izgleda ovako:

Dakle, prema Moserovoj notaciji, Steinhouseov mega je zapisan kao 2, a megiston kao 10. Osim toga, Leo Moser je predložio da se poligon s brojem stranica jednakim mega nazove - megagon. I predložio je broj “2 u Megagonu”, to jest 2. Ovaj broj je postao poznat kao Moserov broj ili jednostavno kao moser.

Ali Moser nije najveći broj. Najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu je granica poznata kao Grahamov broj(Grahamov broj), prvi put korišten 1977. u dokazu jedne procjene u Ramseyevoj teoriji. Povezan je s bikromatskim hiperkockama i ne može se izraziti bez posebnog sustava posebnih matematičkih simbola od 64 razine koje je uveo Knuth 1976. godine.

Nažalost, broj zapisan Knuthovom notacijom ne može se pretvoriti u notaciju pomoću Moserovog sustava. Stoga ćemo i ovaj sustav morati objasniti. U principu, ni u tome nema ništa komplicirano. Donald Knuth (da, da, to je isti Knuth koji je napisao "Umijeće programiranja" i stvorio uređivač TeX-a) došao je do koncepta supermoći, koji je predložio da se napiše sa strelicama usmjerenim prema gore:

Općenito to izgleda ovako:

Mislim da je sve jasno, pa se vratimo na Grahamov broj. Graham je predložio takozvane G-brojeve:

Počeo se zvati broj G 63 Grahamov broj(često se označava jednostavno kao G). Ovaj broj je najveći poznati broj na svijetu i čak je naveden u Guinnessovoj knjizi rekorda. Pa, Grahamov broj je veći od Moserovog broja.

p.s. Kako bih cijelom čovječanstvu donio veliku korist i postao poznat kroz stoljeća, odlučio sam sam smisliti i nazvati najveći broj. Ovaj broj će biti pozvan spajalica a jednak je broju G 100. Zapamtite ga i kada vaša djeca pitaju koji je najveći broj na svijetu, recite im da se taj broj zove spajalica.

Ažuriranje (4.9.2003.): Hvala svima na komentarima. Ispostavilo se da sam napravio nekoliko grešaka prilikom pisanja teksta. Pokušat ću to sada popraviti.

Napravio sam nekoliko grešaka samim spominjanjem Avogadrova broja. Prvo mi je nekoliko ljudi ukazalo da je 6,022 10 23 zapravo najprirodniji broj. I drugo, postoji mišljenje, a meni se čini točnim, da Avogadrov broj uopće nije broj u pravom, matematičkom smislu te riječi, jer ovisi o sustavu jedinica. Sada se izražava u "mol -1", ali ako se izrazi, na primjer, u molovima ili nečim drugim, onda će biti izražen kao sasvim drugi broj, ali to uopće neće prestati biti Avogadrov broj.
10 000 - tama
100 000 - legija
1.000.000 - leodr
10.000.000 - gavran ili korvid
100.000.000 - špil
Zanimljivo je da su i stari Slaveni voljeli velike brojeve i znali su brojati do milijarde. Štoviše, takav su račun nazvali "mali račun". U nekim su rukopisima autori također razmatrali "veliki broj", dosežući broj 10 50.
O brojevima većim od 10 50 rečeno je: "A više od toga ljudski um ne može razumjeti." Nazivi korišteni u “malom broju” preneseni su u “veliki broj”, ali s drugačijim značenjem. Dakle, tama više nije značila 10.000, nego milijun, legija - tama tih (milijun milijuna); leodre - legija legija (10 do 24. stupnja), zatim se govorilo - deset leodra, sto leodra, ..., i, na kraju, sto tisuća onih legija leodra (10 do 47);
leodr leodrov (10 u 48) zvao se gavran i, konačno, špil (10 u 49).
Tema
narodna imena
brojevi se mogu proširiti ako se sjetimo japanskog sustava imenovanja brojeva koji sam zaboravio, a koji se jako razlikuje od engleskog i američkog sustava (neću crtati hijeroglife, ako nekoga zanima, jesu):
10 0 - ichi
10 1 - jyuu
10 2 - hyaku
10 3 - sen
10 4 - muškarac
10 8 - oku
10 12 - chou
10 16 - ključ
10 20 - gai
10 24 - jyo
10 28 - ti
10 32 - kou
10 36 - kan
10 40 - sei
10 44 - sai
10 48 - goku
10 52 - gougasya
10 56 - asougi 10 60 - najuta 10 64 - fukashigi 10 68 - muryoutaisuu, jednako (u njegovoj notaciji) "3 u krugu".
Sada o broju bezbroj ili mirioi.
O podrijetlu ovog broja postoje različita mišljenja. Neki smatraju da potječe iz Egipta, dok drugi vjeruju da je rođen tek u staroj Grčkoj. Kako bilo da bilo, mirijada je stekla slavu upravo zahvaljujući Grcima. Mirijada je bio naziv za 10 000, ali nije bilo naziva za brojeve veće od deset tisuća. Međutim, u svojoj bilješci "Psammit" (tj. pješčani račun), Arhimed je pokazao kako sustavno konstruirati i imenovati proizvoljno velike brojeve. Konkretno, stavljajući 10 000 (bezbroj) zrna pijeska u zrno maka, on otkriva da u Svemir (lopta promjera bezbroj promjera Zemlje) ne može stati više od 10 63 zrna pijeska (u naš zapis). Zanimljivo je da moderni izračuni broja atoma u vidljivom Svemiru dovode do broja 10 67 (ukupno bezbroj puta više). Arhimed je predložio sljedeće nazive za brojeve:
1 mirijada = 10 4 .
1 di-mirijada = mirijada mirijada = 10 8 .
1 trimirijada = dimirijada dimirijada = 10 16 .
1 tetramirijada = trimirijada trimirijada = 10 32 .

itd.

Ako imate bilo kakvih komentara - Poznati tražilica

, a tvrtka koja je stvorila ovaj sustav i mnoge druge proizvode, nazvana je po googol broju – jednom od najvećih brojeva u beskonačnom skupu prirodnih brojeva. Međutim, najveći broj nije čak ni googol, već googolplex.

Googolplex broj prvi je predložio Edward Kasner 1938.; on predstavlja jedinicu iza koje slijedi nevjerojatan broj nula. Ime dolazi od drugog broja - googol - jedan iza kojeg slijedi stotinu nula. Obično se broj googol piše kao 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Googolplex je pak broj deset prema googolu. Obično se piše ovako: 10 10 ^100, a to je puno, puno nula. Ima ih toliko da kad biste odlučili prebrojati broj nula pomoću pojedinačnih čestica u svemiru, ostali biste bez čestica prije nego što ostanete bez nula u googolplexu.

Prema Carlu Saganu, pisanje ovog broja je nemoguće jer bi njegovo pisanje zahtijevalo više prostora nego što postoji u vidljivom svemiru.

Kako funkcionira "brainmail" - prijenos poruka od mozga do mozga putem interneta

10 misterija svijeta koje je znanost konačno otkrila

10 glavnih pitanja o svemiru na koja znanstvenici upravo sada traže odgovore

2500 godina star znanstveni misterij: Zašto zijevamo

3 najgluplja argumenta kojima protivnici teorije evolucije opravdavaju svoje neznanje

Je li moguće ostvariti sposobnosti superheroja uz pomoć moderne tehnologije?

Atom, sjaj, nuktemeron i još sedam jedinica vremena za koje niste čuli

Paralelni svemiri bi mogli stvarno postojati, prema novoj teoriji

Bilo koja dva objekta u vakuumu padat će istom brzinom

Postoje brojevi koji su tako nevjerojatno, nevjerojatno veliki da bi bio potreban cijeli svemir da ih uopće zapiše. Ali evo što je stvarno ludo... neki od ovih nesagledivo velikih brojeva ključni su za razumijevanje svijeta.

Kad kažem "najveći broj u svemiru", stvarno mislim najveći značajan broj, najveći mogući broj koji je na neki način koristan. Mnogo je kandidata za ovu titulu, ali odmah vas upozoravam: doista postoji rizik da ćete se obiti o glavu pokušavajući sve to shvatiti. A osim toga, s previše matematike nećete se baš zabaviti.

Googol i googolplex

Edward Kasner

Mogli bismo početi s dva vjerojatno najveća broja za koje ste ikada čuli, a ovo su doista dva najveća broja koji imaju općeprihvaćene definicije u engleski. (Postoji prilično precizna nomenklatura koja se koristi za označavanje brojeva koliko god želite, ali ova dva broja danas nećete pronaći u rječnicima.) Googol, otkako je postao svjetski poznat (iako s pogreškama, napomena. zapravo je googol ) u obliku Googlea, rođen 1920. godine kao način da se djeca zainteresiraju za velike brojeve.

U tu je svrhu Edward Kasner (na slici) poveo svoja dva nećaka, Miltona i Edwina Sirotta, u šetnju kroz New Jersey Palisades. Pozvao ih je da iznesu bilo kakvu ideju, a onda je devetogodišnji Milton predložio "googol". Ne zna se odakle mu ova riječ, ali Kasner je tako odlučio ili broj u kojem iza jedinice slijedi sto nula od sada će se zvati googol.

Ali mladi Milton nije tu stao; predložio je još veći broj, googolplex. Ovo je broj, prema Miltonu, u kojem je prvo mjesto 1, a zatim onoliko nula koliko možete napisati prije nego što se umorite. Iako je ideja fascinantna, Kasner je odlučio da je potrebna formalnija definicija. Kao što je objasnio u svojoj knjizi iz 1940. Mathematics and the Imagination, Miltonova definicija ostavlja otvorenom rizičnu mogućnost da slučajni lakrdijaš postane matematičar superiorniji od Alberta Einsteina jednostavno zato što ima više izdržljivosti.

Tako je Kasner odlučio da će googolplex biti , ili 1, a zatim googol od nula. U suprotnom, i u notaciji sličnoj onoj kojom ćemo se baviti za druge brojeve, reći ćemo da je googolplex . Kako bi pokazao koliko je to fascinantno, Carl Sagan je jednom primijetio da je fizički nemoguće zapisati sve nule googolplexa jer jednostavno nema dovoljno mjesta u svemiru. Ispunimo li cijeli volumen promatranog Svemira malim česticama prašine veličine približno 1,5 mikrona, tada se broj na razne načine mjesto tih čestica bit će približno jednako jednom googolplexu.

Lingvistički govoreći, googol i googolplex vjerojatno su dva najveća značajna broja (barem u engleskom jeziku), ali, kao što ćemo sada utvrditi, postoji beskonačno mnogo načina da se definira "značaj".

Stvarni svijet

Ako govorimo o najvećem značajnom broju, postoji razuman argument da to stvarno znači da trebamo pronaći najveći broj s vrijednošću koja stvarno postoji u svijetu. Možemo početi s trenutnom ljudskom populacijom, koja trenutno iznosi oko 6920 milijuna. Globalni BDP u 2010. godini procijenjen je na oko 61.960 milijardi USD, ali obje ove brojke su beznačajne u usporedbi s otprilike 100 trilijuna stanica koje čine ljudsko tijelo. Naravno, niti jedan od ovih brojeva ne može se usporediti s ukupnim brojem čestica u Svemiru, koji se općenito smatra približno , a taj je broj toliko velik da naš jezik nema riječ za njega.

Možemo se malo poigrati sa sustavima mjera, čineći brojeve sve većim i većim. Dakle, masa Sunca u tonama bit će manja nego u funtama. Odličan način za to je korištenje Planckovog sustava jedinica, što su najmanje moguće mjere za koje još uvijek vrijede zakoni fizike. Na primjer, starost Svemira u Planckovom vremenu je oko . Ako se vratimo na prvu Planckovu jedinicu vremena nakon Velikog praska, vidjet ćemo da je gustoća Svemira tada bila . Dobivamo sve više, ali još nismo stigli ni do googola.

Najveći broj s bilo kojom primjenom u stvarnom svijetu - ili u ovom slučaju primjenom u stvarnom svijetu - vjerojatno je jedna od najnovijih procjena broja svemira u multiverzumu. Ovaj broj je toliko velik da ljudski mozak doslovno neće moći percipirati sve te različite svemire, budući da je mozak sposoban samo za približne konfiguracije. Zapravo, ovaj broj je vjerojatno najveći broj koji ima bilo kakvog praktičnog smisla osim ako ne uzmete u obzir ideju multiverzuma kao cjeline. No, tamo još uvijek vrebaju mnogo veće brojke. Ali da bismo ih pronašli, moramo ući u područje čiste matematike, a nema boljeg mjesta za početak od prostih brojeva.

Mersenneovi prosti brojevi

Dio poteškoća je doći do dobre definicije što je "značajan" broj. Jedan način je razmišljati u terminima prostih i složenih brojeva. Prost broj, kao što se vjerojatno sjećate iz školske matematike, je bilo koji prirodni broj (primijetite ne jednako jedan), koji je djeljiv samo sa samim sobom. Dakle, i su prosti brojevi, i i su složeni brojevi. To znači da se bilo koji složeni broj može u konačnici predstaviti svojim prostim faktorima. Na neki način, broj je važniji od, recimo, jer ne postoji način da se izrazi u smislu umnoška manjih brojeva.

Očito možemo ići malo dalje. , na primjer, zapravo je samo , što znači da u hipotetskom svijetu u kojem je naše znanje o brojevima ograničeno na , matematičar još uvijek može izraziti broj . Ali sljedeći broj je prost, što znači da je jedini način da ga izrazimo izravno saznanje o njegovom postojanju. To znači da igraju najveći poznati prosti brojevi važnu ulogu, i, recimo, googol - koji je u konačnici samo skup brojeva i , pomnoženih zajedno - zapravo ne. A budući da su prosti brojevi u osnovi nasumični, ne postoji poznati način da se predvidi da će nevjerojatno velik broj zapravo biti prost. Do danas je otkrivanje novih prostih brojeva težak pothvat.

matematičari Stara Grčka imali su koncept prostih brojeva barem još 500. pr. Kr., a 2000 godina kasnije ljudi su još uvijek znali koji su brojevi prosti samo do otprilike 750. Mislioci u Euklidovo vrijeme vidjeli su mogućnost pojednostavljenja, ali sve do renesansnog matematičari nisu mogli stvarno staviti to u praksi. Ti su brojevi poznati kao Mersenneovi brojevi, nazvani po francuskom znanstveniku iz 17. stoljeća Marinu Mersenneu. Ideja je vrlo jednostavna: Mersenneov broj je bilo koji broj oblika . Tako, na primjer, , i ovaj broj je prost, isto vrijedi i za .

Puno je brže i lakše odrediti Mersenneove proste brojeve od bilo koje druge vrste prostih brojeva, a računala su naporno radila tražeći ih zadnjih šest desetljeća. Do 1952. najveći poznati prosti broj bio je broj — broj s znamenkama. Iste godine računalo je izračunalo da je broj prost, a taj se broj sastoji od znamenki, što ga čini mnogo većim od googola.

Od tada su računala u potrazi, a trenutno je Mersenneov broj najveći prost broj poznat čovječanstvu. Otkriven 2008. godine, predstavlja broj s gotovo milijunima znamenki. To je najveći poznati broj koji se ne može izraziti nikakvim manjim brojevima, a ako želite pomoć u pronalaženju još većeg Mersenneovog broja, vi (i vaše računalo) se uvijek možete pridružiti pretrazi na http://www.mersenne org /.

Skewesov broj

Stanley Skews

Pogledajmo ponovno proste brojeve. Kao što sam rekao, ponašaju se fundamentalno pogrešno, što znači da ne postoji način da se predvidi koji će biti sljedeći prosti broj. Matematičari su bili prisiljeni pribjeći nekim prilično fantastičnim mjerenjima kako bi došli do nekog načina predviđanja budućih prostih brojeva, čak i na neki nebulozan način. Najuspješniji od ovih pokušaja vjerojatno je funkcija brojanja prostih brojeva, koju je krajem 18. stoljeća izumio legendarni matematičar Carl Friedrich Gauss.

Poštedjet ću vas kompliciranije matematike - ionako nas čeka još mnogo toga - ali bit funkcije je sljedeća: za bilo koji cijeli broj možete procijeniti koliko prostih brojeva ima manje od . Na primjer, ako je , funkcija predviđa da bi trebali postojati prosti brojevi, ako bi trebali postojati prosti brojevi manji od , a ako bi trebali postojati manji brojevi koji su prosti.

Raspored prostih brojeva doista je nepravilan i samo je aproksimacija stvarnog broja prostih brojeva. Zapravo, znamo da postoje prosti brojevi manji od , prosti brojevi manji od i prosti brojevi manji od . Ovo je svakako izvrsna procjena, ali uvijek je samo procjena... i točnije procjena odozgo.

U svim poznatim slučajevima do , funkcija koja pronalazi broj prostih brojeva malo precjenjuje stvarni broj prostih brojeva manjih od . Matematičari su nekoć mislili da će to uvijek biti slučaj, ad infinitum, i da će se to sigurno primijeniti na neke nezamislivo velike brojeve, ali 1914. John Edensor Littlewood dokazao je da će za neki nepoznati, nezamislivo veliki broj ova funkcija početi proizvoditi manje prostih brojeva , a zatim će se prebacivati između gornje i donje procjene beskonačan broj puta.

Lovilo se na startnu točku utrka, a onda se pojavio Stanley Skewes (vidi sliku). Godine 1933. dokazao je da je gornja granica kada funkcija koja aproksimira broj prostih brojeva najprije daje manju vrijednost broj . Teško je istinski razumjeti čak iu najapstraktnijem smislu što ovaj broj zapravo predstavlja, a s ove točke gledišta to je bio najveći broj ikada korišten u ozbiljnom matematičkom dokazu. Matematičari su od tada uspjeli smanjiti gornju granicu na relativno mali broj, ali izvorni broj ostaje poznat kao Skewesov broj.

Dakle, koliki je broj koji nadmašuje čak i moćni googolplex? U The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells govori o jednom načinu na koji je matematičar Hardy uspio konceptualizirati veličinu Skuseovog broja:

“Hardy je mislio da je to “najveći broj koji je ikada služio za bilo koju posebnu svrhu u matematici,” i sugerirao je da bi se igra šaha sa svim česticama svemira kao figurama jedan potez sastojao od zamjene dviju čestica, a igra bi stala kada bi se ista pozicija ponovila treći put, tada bi broj svih mogućih partija bio približno jednak Skuseovom broju.

Još jedna stvar prije nego što krenemo dalje: razgovarali smo o manjem od dva Skewesova broja. Postoji još jedan Skuseov broj, koji je matematičar otkrio 1955. godine. Prvi broj je izveden iz činjenice da je takozvana Riemannova hipoteza istinita - ovo je posebno teška hipoteza u matematici koja ostaje nedokazana, vrlo korisna kada su u pitanju prosti brojevi. Međutim, ako je Riemannova hipoteza netočna, Skuse je otkrio da početna točka skokova raste na .

Problem veličine

Prije nego što dođemo do brojke zbog koje čak i Skewesov broj izgleda malen, moramo malo razgovarati o razmjeru, jer inače nemamo načina procijeniti kamo ćemo ići. Prvo uzmimo broj - to je sićušan broj, toliko mali da ljudi zapravo mogu intuitivno razumjeti što on znači. Vrlo je malo brojeva koji odgovaraju ovom opisu, budući da brojevi veći od šest prestaju biti zasebni brojevi i postaju "nekoliko", "mnogo" itd.

Sada uzmimo, tj. . Iako zapravo ne možemo intuitivno, kao što smo to učinili za broj, razumjeti što je to, vrlo je lako zamisliti što je to. Zasada je dobro. Ali što će se dogoditi ako se preselimo u ? Ovo je jednako ili. Jako smo daleko od toga da možemo zamisliti tu količinu, kao i svaku drugu vrlo veliku - gubimo sposobnost shvaćanja pojedinih dijelova negdje oko milijun. (Stvarno, to je ludo veliki broj Trebalo bi neko vrijeme da se stvarno izbroji do milijun bilo čega, ali stvar je u tome da smo još uvijek u stanju percipirati taj broj.)

Međutim, iako ne možemo zamisliti, barem možemo općenito razumjeti što je 7600 milijardi, možda uspoređujući to s nečim poput američkog BDP-a. Prešli smo s intuicije na reprezentaciju na jednostavno razumijevanje, ali barem još uvijek imamo neke praznine u našem razumijevanju što je broj. To će se promijeniti kako se pomaknemo još jednu stepenicu na ljestvici.

Da bismo to učinili, moramo prijeći na notaciju koju je uveo Donald Knuth, poznatu kao notacija strelicama. Ova se notacija može napisati kao . Kada tada odemo na , broj koji dobivamo bit će . Ovo je jednako zbroju trojki. Sada smo daleko i stvarno nadmašili sve druge brojke o kojima smo već govorili. Uostalom, čak i najveći od njih imali su samo tri ili četiri termina u seriji indikatora. Na primjer, čak je i super-Skuseov broj "samo" - čak i uz dopuštenje činjenice da su i baza i eksponenti mnogo veći od , još uvijek je apsolutno ništa u usporedbi s veličinom brojčanog tornja s milijardu članova .

Očito, ne postoji način da se pojme tako golemi brojevi... a ipak se još uvijek može razumjeti proces kojim nastaju. Nismo mogli razumjeti stvarnu količinu koju daje toranj moći s milijardu trojki, ali u osnovi možemo zamisliti takav toranj s mnogo članova, a stvarno pristojno superračunalo moglo bi pohraniti takve tornjeve u memoriju čak i ako nije mogao izračunati njihove stvarne vrijednosti.

Ovo postaje sve apstraktnije, ali bit će samo gore. Možda mislite da je toranj stupnjeva čija je dužina eksponenta jednaka (zapravo, u prethodnoj verziji ovog posta napravio sam upravo tu grešku), ali jednostavno je. Drugim riječima, zamislite da ste u stanju izračunati točnu vrijednost tornja snage od trojki koji se sastoji od elemenata, a zatim ste uzeli tu vrijednost i stvorili novi toranj s onoliko njih koliko... to daje .

Ponovite ovaj postupak sa svakim sljedećim brojem ( bilješka počevši s desna) dok to ne učinite nekoliko puta, a onda konačno dobijete . Riječ je o broju koji je jednostavno nevjerojatno velik, ali barem se koraci do njega čine razumljivim ako sve radite vrlo polako. Brojke više ne možemo razumjeti niti zamisliti postupak kojim se oni dobivaju, ali barem možemo razumjeti osnovni algoritam, samo u dovoljno dugom vremenu.

Sada pripremimo um da ga stvarno raznese.

Grahamov broj (Graham)

Ronald Graham

Tako se dobiva Grahamov broj, koji ima mjesto u Guinnessovoj knjizi svjetskih rekorda kao najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu. Apsolutno je nemoguće zamisliti kolika je, a jednako je teško objasniti što je točno. U osnovi, Grahamov broj se pojavljuje kada se radi o hiperkockama, koje su teoretski geometrijski oblici s više od tri dimenzije. Matematičar Ronald Graham (vidi fotografiju) želio je saznati na kojem će najmanjem broju dimenzija određena svojstva hiperkocke ostati stabilna. (Oprostite na tako nejasnom objašnjenju, ali siguran sam da svi trebamo steći barem dvije diplome iz matematike da bismo bili točniji.)

U svakom slučaju, Grahamov broj je gornja procjena ovog minimalnog broja dimenzija. Dakle, kolika je ova gornja granica? Vratimo se broju, toliko velikom da algoritam za njegovo dobivanje možemo samo nejasno razumjeti. Sada, umjesto da samo skočimo još jednu razinu do , brojat ćemo broj koji ima strelice između prve i zadnje tri. Sada smo daleko iznad čak i najmanjeg razumijevanja toga što je to broj ili čak što trebamo učiniti da ga izračunamo.

Sada ponovimo ovaj postupak jednom ( bilješka u svakom sljedećem koraku upisujemo broj strelica jednak broju dobivenom u prethodnom koraku).

Ovo je, dame i gospodo, Grahamov broj, koji je otprilike jedan red veličine veći od razine ljudskog razumijevanja. To je broj koji je toliko veći od bilo kojeg broja koji možete zamisliti - toliko je veći od bilo koje beskonačnosti koju biste ikada mogli zamisliti - jednostavno prkosi čak i najapstraktnijem opisu.

Ali ovdje je čudna stvar. Budući da je Grahamov broj u osnovi samo trojka pomnožena zajedno, znamo neka njegova svojstva, a da ga zapravo nismo izračunali. Grahamov broj ne možemo predstaviti bilo kojom poznatom notacijom, čak i ako bismo upotrijebili cijeli svemir da ga zapišemo, ali mogu vam sada reći zadnjih dvanaest znamenki Grahamovog broja: . I to nije sve: znamo barem posljednje znamenke Grahamova broja.

Naravno, vrijedi zapamtiti da je ovaj broj samo gornja granica u Grahamovom izvornom problemu. Sasvim je moguće da je stvarni broj mjerenja potrebnih za zadovoljavanje željenog svojstva puno, puno manji. Zapravo, vjeruje se još od 1980-ih, prema mišljenju većine stručnjaka na tom području, da zapravo postoji samo šest dimenzija - broj koji je toliko malen da ga možemo razumjeti intuitivno. Donja granica je od tada podignuta na , ali još uvijek postoji vrlo dobra šansa da rješenje Grahamovog problema ne leži ni blizu broja tako velikog kao što je Grahamov broj.

Prema beskraju

Dakle, postoje li brojevi veći od Grahamovog broja? Tu je, naravno, za početak tu je Grahamov broj. Što se tiče značajan broj...u redu, postoje neka vraški složena područja matematike (osobito područje poznato kao kombinatorika) i računalne znanosti u kojima se pojavljuju brojevi čak i veći od Grahamovog broja. Ali skoro smo dosegli granicu onoga za što se mogu nadati da će ikada biti racionalno objašnjeno. Za one koji su dovoljno hrabri da idu još dalje, daljnje čitanje predlaže se na vlastitu odgovornost.

Pa, sada nevjerojatan citat koji se pripisuje Douglasu Rayu ( bilješka Iskreno, zvuči prilično smiješno:

“Vidim grozdove nejasnih brojeva koji su skriveni tamo u tami, iza male točke svjetla koju daje svijeća razuma. Šapuću jedno drugome; kujući tko zna što. Možda nas baš i ne vole jer smo zarobili njihovu mlađu braću u našim glavama. Ili možda jednostavno vode jednoznamenkasti život, tamo vani, izvan našeg razumijevanja.