Trabajemos con ecuaciones cuadráticas... ¡Estas son ecuaciones muy populares! En su forma más general, la ecuación cuadrática se ve así:

Por ejemplo:

aquí y =1; segundo = 3; c = -4

aquí y =2; segundo = -0,5; c = 2,2

aquí y =-3; segundo = 6; c = -18

Bueno, ya captas la idea ...

¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas? Si tiene una ecuación cuadrática en esta forma, entonces todo ya es simple. Recordando la palabra mágica discriminante ... ¡Un estudiante de secundaria poco común no ha escuchado esta palabra! La frase "decidir a través del discriminante" inspira confianza y tranquilidad. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos sucios del discriminante! Es simple y sin problemas de usar. Entonces, la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión debajo del signo de la raíz es la misma. discriminante... Como puede ver, para encontrar x, usamos solo a, b y c... Aquellos. coeficientes de la ecuación cuadrática. Simplemente sustituya los valores con cuidado a, b y c en esta fórmula y contar. Sustituir con tus signos! Por ejemplo, para la primera ecuación y =1; segundo = 3; c \u003d -4. Entonces escribimos:

El ejemplo está casi resuelto:

Eso es todo.

¿Qué casos son posibles al utilizar esta fórmula? Solo hay tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que puede extraerle la raíz. Se extrae buena raíz, o mala, otra pregunta. Es importante lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tienes una solución. Estrictamente hablando, esta no es una raíz, sino dos idénticos... Pero esto juega un papel en las desigualdades, allí estudiaremos el tema con más detalle.

3. El discriminante es negativo. No se saca raíz cuadrada de un número negativo. Bueno esta bien. Esto significa que no hay soluciones.

Todo es muy sencillo. ¿Y qué crees que no puedes estar equivocado? Bueno, sí, cómo ...
Los errores más comunes son la confusión con los signos de significado. a, b y c... Más bien, no con sus signos (¿dónde confundirse?), Sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Aquí, se guarda una notación detallada de la fórmula con números específicos. Si hay problemas de cálculo, hazlo!

Suponga que necesita resolver este ejemplo:

aquí a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Digamos que sabe que rara vez obtiene respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Se necesitarán 30 segundos para escribir una línea adicional. Y la cantidad de errores disminuirá drásticamente... Entonces escribimos en detalle, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil pintar con tanto cuidado. Pero solo lo parece. Intentalo. Bueno, o elige. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no será necesario pintar todo con tanto cuidado. Funcionará por sí solo. Especialmente si utiliza las técnicas prácticas que se describen a continuación. ¡Este ejemplo maligno con un montón de inconvenientes se puede resolver fácilmente y sin errores!

Entonces, cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través del discriminante, recordamos. O aprendido, que tampoco está mal. Saber identificar correctamente a, b y c... Sabes como atentamente sustituirlos en la fórmula raíz y atentamente leer el resultado. Tienes la idea de que la palabra clave aquí es ¿atentamente?

Sin embargo, las ecuaciones cuadráticas a menudo se ven ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

eso ecuaciones cuadráticas incompletas ... También se pueden resolver mediante el discriminante. Solo necesitas averiguar correctamente qué es igual aquí a, b y c.

Te has dado cuenta En el primer ejemplo a \u003d 1; b \u003d -4; y c? ¡No está allí en absoluto! Bueno, sí, eso es correcto. En matemáticas, esto significa que c \u003d 0 ! Eso es todo. Sustituimos cero en la fórmula en lugar de c, y lo lograremos. Lo mismo ocurre con el segundo ejemplo. Solo cero tenemos aquí no desdey segundo !

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver mucho más fácilmente. Sin discriminante alguno. Considere la primera ecuación incompleta. ¿Qué puedes hacer allí en el lado izquierdo? ¡Puedes poner la x entre corchetes! Vamos a sacarlo.

¿Y qué hay de eso? ¡Y el hecho de que el producto sea igual a cero si y solo si alguno de los factores es igual a cero! ¿No me crees? Bueno, entonces piensa en dos números distintos de cero que, cuando se multiplican, ¡darán cero!
¿No funciona? Eso es ...
Por lo tanto, podemos escribir con confianza: x \u003d 0o x \u003d 4

Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos encajan. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 \u003d 0. Como puede ver, la solución es mucho más simple que a través del discriminante.

La segunda ecuación también se puede resolver de forma sencilla. Mueve el 9 al lado derecho. Obtenemos:

Queda por extraer la raíz del 9, y ya está. Resulta:

También dos raíces ... x \u003d +3 y x \u003d -3.

Así es como se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. O colocando la x entre paréntesis, o simplemente transfiriendo el número a la derecha y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estas técnicas. Simplemente porque en el primer caso tendrás que extraer la raíz de la x, que de alguna manera es incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que poner entre paréntesis ...

Por ahora, tome nota de las mejores prácticas que reducirán drásticamente los errores. Los mismos que se deben a la desatención ... para lo cual luego es doloroso e insultante ...

Primera recepcion... No seas perezoso para llevarlo a la forma estándar antes de resolver la ecuación cuadrática. ¿Qué significa esto?
Digamos que, después de cualquier transformación, obtienes la siguiente ecuación:

¡No se apresure a escribir la fórmula de la raíz! Es casi seguro que mezclará las probabilidades. a, by c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, la X se eleva al cuadrado, luego sin el cuadrado, luego el miembro libre. Me gusta esto:

Una vez más, ¡no se apresure! El menos delante de la x en el cuadrado puede ponerte muy triste. Es fácil olvidarlo ... Deshazte del menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Tienes que multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puede escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y completar el ejemplo. Hazlo tu mismo. Deberías tener las raíces 2 y -1.

Recepción en segundo lugar. ¡Comprueba las raíces! Por el teorema de Vieta. ¡No te alarmes, te lo explicaré todo! Comprobación última cosa la ecuacion. Aquellos. aquel por el que escribimos la fórmula de las raíces. Si (como en este ejemplo) el coeficiente a \u003d 1, comprobar las raíces es fácil. Basta con multiplicarlos. Debería obtener un miembro gratuito, es decir en nuestro caso -2. ¡Presta atención, no 2, sino -2! Miembro gratuito con mi signo ... Si no funcionó, entonces ya está arruinado en alguna parte. Busque el error. Si funciona, debes doblar las raíces. El último y último control. Deberías obtener un coeficiente segundo desde opuesto familiar. En nuestro caso, -1 + 2 \u003d +1. Y el coeficiente segundoque está antes de x es -1. ¡Entonces todo está bien!
Es una pena que esto sea tan simple solo para ejemplos en los que x al cuadrado es puro, con un coeficiente a \u003d 1. ¡Pero al menos revisa estas ecuaciones! Habrá menos errores.

Recepción tercera... Si tu ecuación contiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por el denominador común como se describe en la sección anterior. Cuando se trabaja con fracciones, por alguna razón, aparecen errores ...

Por cierto, prometí simplificar el mal ejemplo con un montón de contras. ¡De nada! Aquí está.

Para no confundirnos con los menos, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Es un placer decidir!

Entonces, para resumir el tema.

Consejo practico:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a la forma estándar, la construimos correctamente.

2. Si hay un coeficiente negativo delante de la x en el cuadrado, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando la ecuación completa por el factor apropiado.

4. Si x al cuadrado es puro, el coeficiente en él es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente con el teorema de Vieta. ¡Hazlo!

Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. La última mirada permanece - ecuaciones fraccionarias... O también se les llama mucho más sólidamente - ecuaciones racionales fraccionarias... Esto es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, las fracciones siempre están presentes en estas ecuaciones. Pero no solo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador... Al menos uno. Por ejemplo:

Permítame recordarle que si los denominadores contienen solo números, estas son ecuaciones lineales.

Cómo resolver ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de eso, la ecuación, con mayor frecuencia, se convierte en lineal o cuadrada. Y luego sabemos qué hacer ... En algunos casos, puede convertirse en una identidad, como 5 \u003d 5, o una expresión incorrecta, como 7 \u003d 2. Pero esto ocurre raramente. Mencionaré esto a continuación.

Pero, ¿cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando todas las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Todo se volverá más fácil a la vez. Dejame explicarte con un ejemplo. Supongamos que necesitamos resolver la ecuación:

¿Cómo enseñaste en la escuela primaria? Transferimos todo en una dirección, llevamos a un denominador común, etc. ¡Olvídalo como un mal sueño! Esto debe hacerse al sumar o restar expresiones fraccionarias. O trabajar con desigualdades. Y en las ecuaciones, inmediatamente multiplicamos ambos lados por una expresión que nos dará la oportunidad de reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?

A la izquierda, multiplicando por x + 2 ... Y a la derecha se necesita multiplicar por 2. Por lo tanto, la ecuación debe multiplicarse por 2 (x + 2)... Multiplicamos:

Esta es la multiplicación habitual de fracciones, pero la escribiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no estoy ampliando el paréntesis (x + 2)! Entonces, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo se reduce por completo (x + 2), y en el derecho 2. ¡Que se requiere! Después de la reducción, obtenemos lineal la ecuacion:

¡Y todos resolverán esta ecuación! x \u003d 2.

Resolvamos un ejemplo más, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 \u003d 3/1, y 2x \u003d 2x /1, puedes escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.

Vemos que para cancelar el denominador con x, necesitas multiplicar la fracción por (x - 2)... Algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, nos multiplicamos. El conjunto lado izquierdo y el conjunto lado derecho:

De nuevo corchetes (x - 2) No lo revelo. Trabajo con el corchete como un todo, ¡como si fuera un número! Esto siempre debe hacerse, de lo contrario no se reducirá nada.

Con un sentimiento de profunda satisfacción cortamos (x - 2) y obtenemos la ecuación sin fracciones, ¡en una regla!

Y ahora abrimos los corchetes:

Damos similares, transferimos todo al lado izquierdo y obtenemos:

La ecuación cuadrática clásica. Pero la desventaja por delante no es buena. Siempre puede deshacerse de él, multiplicando o dividiendo por -1. Pero si observa más de cerca el ejemplo, notará que es mejor dividir esta ecuación entre -2. De un solo golpe, el signo menos desaparecerá y las probabilidades serán más bonitas. Dividir por -2. A la izquierda, término por término, y a la derecha, simplemente divida cero entre -2, cero y obtenga:

Resolvemos mediante el discriminante y comprobamos con el teorema de Vieta. Obtenemos x \u003d 1 y x \u003d 3... Dos raíces.

Como puede ver, en el primer caso, la ecuación después de la transformación se volvió lineal, pero aquí es cuadrada. Sucede que después de deshacerse de las fracciones, todos los x se reducen. Sigue siendo algo así como 5 \u003d 5. Esto significa que x puede ser cualquiera... Sea lo que sea, todavía se encogerá. Y obtienes la verdad honesta, 5 \u003d 5. Pero, después de deshacerse de las fracciones, puede resultar completamente falso, como 2 \u003d 7. Esto significa que sin soluciones! Con cualquier x, resulta ser falso.

Realizó la solución principal ecuaciones fraccionarias? Es simple y lógico. Cambiamos la expresión original para que desaparezca lo que no nos gusta. O interfiere. En este caso, se trata de fracciones. Haremos lo mismo con todo tipo de ejemplos complejos con logaritmos, senos y otros horrores. nosotros siempre nos libraremos de todo esto.

Sin embargo, necesitamos cambiar la expresión original en la dirección que necesitamos de acuerdo a las reglas, sí ... Mastering que es preparación para el examen de matemáticas. Entonces lo dominamos.

Ahora aprenderemos cómo omitir uno de principales emboscadas en el examen! Pero primero, veamos si te adentras o no.

Veamos un ejemplo simple:

El asunto ya es familiar, multiplicamos ambas partes por (x - 2), obtenemos:

Te recuerdo, entre paréntesis (x - 2) ¡Trabajamos como con una sola expresión!

Aquí ya no escribí 1 en los denominadores, es indigno ... Y no dibujé corchetes en los denominadores, excepto por x - 2 no hay nada, no tienes que dibujar. Reducir:

Abrimos los corchetes, movemos todo hacia la izquierda, damos similares:

Resolvemos, comprobamos, obtenemos dos raíces. x \u003d 2 y x \u003d 3... Excelente.

Suponga que la tarea dice que anote la raíz, o su suma, si hay más de una raíz. ¿Qué vamos a escribir?

Si decide que la respuesta es 5, fueron emboscados... Y la tarea no se te contará. Trabajó en vano ... Respuesta correcta 3.

¡¿Qué pasa?! Y tratas de hacer un cheque. Sustituye los valores de lo desconocido en original ejemplo. Y si en x \u003d 3 todo crecerá maravillosamente junto con nosotros, obtenemos 9 \u003d 9, luego con x \u003d 2 ¡división por cero! Lo que no se puede hacer categóricamente. Medio x \u003d 2 no es una solución y no se tiene en cuenta en la respuesta. Esta es la denominada raíz extraña o extra. Simplemente lo dejamos. La raíz final es una. x \u003d 3.

Cómo es eso ?! - Escucho exclamaciones indignadas. ¡Nos enseñaron que una ecuación se puede multiplicar por una expresión! ¡Esta es una transformación idéntica!

Sí, idéntico. Con una pequeña condición, la expresión por la que multiplicamos (dividimos) distinto de cero... Y x - 2 a x \u003d 2 es igual a cero! Entonces todo es justo.

¡¿Y ahora qué puedo hacer ?! ¿No multiplicas por expresión? ¿Necesitas comprobarlo todo el tiempo? ¡De nuevo, no está claro!

¡Cálmese! ¡Que no cunda el pánico!

En esta difícil situación, tres letras mágicas nos salvarán. Sé lo que estás pensando. ¡Correctamente! eso ODZ ... Rango de valores permitidos.

Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, así que no hay nada complicado aquí. La capacidad para resolverlos es absolutamente esencial.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios, y a ≠ 0.

Antes de estudiar métodos específicos para resolver, notamos que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir condicionalmente en tres clases:

1. No tiene raíces;
2. Tenga exactamente una raíz;
3. Tienen dos raíces distintas.

Esta es una diferencia importante entre las ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo se determina cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso en esto: discriminante.

Discriminante

Sea una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D \u003d b 2 - 4ac.

Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene, ya no importa. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante, puede determinar cuántas raíces tiene la ecuación cuadrática. A saber:

1. Si D< 0, корней нет;
2. Si D \u003d 0, hay exactamente una raíz;
3. Si D\u003e 0, habrá dos raíces.

Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como muchos creen por alguna razón. Eche un vistazo a los ejemplos y usted mismo lo entenderá todo:

Una tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a \u003d 1, b \u003d −8, c \u003d 12;
D \u003d (−8) 2 - 4 1 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Entonces, el discriminante es positivo, por lo que la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de forma similar:
a \u003d 5; b \u003d 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación permanece:
a \u003d 1; b \u003d −6; c \u003d 9;
D \u003d (−6) 2-4 1 9 \u003d 36-36 \u003d 0.

El discriminante es cero, habrá una raíz.

Tenga en cuenta que se han escrito coeficientes para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es aburrido, pero no mezclarás los coeficientes y no cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si "llena su mano", después de un tiempo ya no necesitará escribir todos los coeficientes. Realizarás estas operaciones en tu cabeza. La mayoría de las personas comienzan a hacer esto en algún momento después de que se resuelven 50-70 ecuaciones; en general, no tanto.

Raíces cuadráticas

Ahora pasemos a la solución. Si el discriminante D\u003e 0, las raíces se pueden encontrar mediante las fórmulas:

Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática

Cuando D \u003d 0, puede usar cualquiera de estas fórmulas; obtiene el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Primera ecuación:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d −2; c \u003d −3;
D \u003d (−2) 2-4 1 (−3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Vamos a buscarlos:

Segunda ecuación:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d −1; b \u003d −2; c \u003d 15;
D \u003d (−2) 2-4 (−1) 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces nuevamente. Vamos a encontrarlos

\\ [\\ begin (align) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d 3. \\\\ \\ end (alinear) \\]

Finalmente, la tercera ecuación:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

Como puede ver en los ejemplos, todo es muy simple. Si conoce las fórmulas y sabe contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, ocurren errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Aquí, nuevamente, la técnica descrita anteriormente ayudará: mire la fórmula literalmente, describa cada paso, y muy pronto se deshará de los errores.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Sucede que la ecuación cuadrática es algo diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Es fácil ver que falta uno de los términos en estas ecuaciones. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera necesitan calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:

La ecuación ax 2 + bx + c \u003d 0 se denomina ecuación cuadrática incompleta si b \u003d 0 o c \u003d 0, es decir coeficiente en la variable x o elemento libre es igual a cero.

Por supuesto, es posible un caso muy difícil, cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b \u003d c \u003d 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 \u003d 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una sola raíz: x \u003d 0.

Consideremos el resto de los casos. Sea b \u003d 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c \u003d 0. La transformamos ligeramente:

Dado que la raíz cuadrada aritmética existe solo a partir de un número no negativo, la última igualdad tiene sentido solo para (−c / a) ≥ 0. Conclusión:

1. Si la desigualdad (−c / a) ≥ 0 se cumple en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c \u003d 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
2. Si (−c / a)< 0, корней нет.

Como puede ver, no se requería el discriminante: en las ecuaciones cuadráticas incompletas no hay cálculos complicados en absoluto. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c / a) ≥ 0. Basta con expresar el valor x 2 y ver qué se encuentra al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

Ahora tratemos con ecuaciones de la forma ax 2 + bx \u003d 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es simple: siempre habrá dos raíces. Es suficiente factorizar el polinomio:

Poner entre corchetes un factor común

El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí son las raíces. En conclusión, analizaremos varias de estas ecuaciones:

Una tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2-9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d −30 ⇒ x 2 \u003d −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

4x 2-9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d −1,5.

Primero, ¿qué es una ecuación cuadrática? Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a no es igual a cero.

Paso 2

Para resolver una ecuación cuadrática, necesitamos conocer la fórmula de sus raíces, es decir, para empezar, la fórmula del discriminante de una ecuación cuadrática. Tiene este aspecto: D \u003d b ^ 2-4ac. Puede deducirlo usted mismo, pero generalmente no es obligatorio, solo recuerde la fórmula (!) Realmente lo necesitará en el futuro. También hay una fórmula para una cuarta parte del discriminante, más sobre esto un poco más adelante.

Paso 3

Tome la ecuación 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0 como ejemplo. Lo resolveré de dos formas.

Paso 4

Método 1. Discriminante.
3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0
a \u003d 3, b \u003d -24, c \u003d 21
D \u003d b ^ 2-4ac
D \u003d 576-4 * 63 \u003d 576-252 \u003d 324 \u003d 18 ^ 2
D\u003e
x1,2 \u003d (-b 18) / 6 \u003d 42/6 \u003d 7
x2 \u003d (- (- 24) -18) / 6 \u003d 6/6 \u003d 1

Paso 5

Es hora de recordar la fórmula para el cuarto del discriminante, que puede facilitar enormemente la solución de nuestra ecuación \u003d) para que así sea: D1 \u003d k ^ 2-ac (k \u003d 1 / 2b)
Método 2. Una cuarta parte del discriminante.
3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0
a \u003d 3, b \u003d -24, c \u003d 21
k \u003d -12
D1 \u003d k ^ 2 - ac
D1 \u003d 144-63 \u003d 81 \u003d 9 ^ 2
D1\u003e 0, entonces la ecuación tiene 2 raíces
x1,2 \u003d k + / raíz cuadrada de D1) / a
x1 \u003d (- (- 12) +9) / 3 \u003d 21/3 \u003d 7
x2 \u003d (- (- 12) -9) / 3 \u003d 3/3 \u003d 1

¿Cuánto más fácil es la solución ?;)
Gracias por su atención, les deseo éxito en sus estudios \u003d)

• En nuestro caso, en las ecuaciones D y D1 fueron\u003e 0 y obtuvimos 2 raíces. Si hubiera D \u003d 0 y D1 \u003d 0, entonces obtendríamos una raíz cada uno, y si hubiera D<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
• A través de la raíz del discriminante (D1), se pueden resolver solo aquellas ecuaciones en las que el término b es par (!)

Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.

El programa no solo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos formas:
- usando el discriminante
- utilizando el teorema de Vieta (si es posible).

Además, la respuesta se muestra exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\), la respuesta se muestra de esta forma:

$$ x_1 \u003d \\ frac (8+ \\ sqrt (145)) (81), \\ quad x_2 \u003d \\ frac (8- \\ sqrt (145)) (81) $$ y no así: \\ (x_1 \u003d 0.247; \\ quad x_2 \u003d -0,05 \\)

Este programa puede ser útil para estudiantes de último año de escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al verificar conocimientos antes del examen, para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para usted contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quiere terminar su tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.

De esta manera, puede conducir su propia enseñanza y / o la enseñanza de sus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de educación en el campo de los problemas que se resuelven.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrado, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar un polinomio cuadrado

Cualquier letra latina se puede utilizar como variable.
Por ejemplo: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) etc.

Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria del todo se puede separar con un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar decimales como este: 2.5x - 3.5x ^ 2

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo se puede usar un número entero como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Al ingresar una fracción numérica, el numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte completa está separada de la fracción por un ampersand: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultado: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

Al ingresar una expresión se pueden utilizar soportes... En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

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Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas

Cada una de las ecuaciones
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
tiene la forma
\\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
donde x es una variable, a, byc son números.
En la primera ecuación a \u003d -1, b \u003d 6 y c \u003d 1.4, en la segunda a \u003d 8, b \u003d -7 y c \u003d 0, en la tercera a \u003d 1, b \u003d 0 y c \u003d 4/9. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.

Definición.
Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y \\ (a \\ neq 0 \\).

Los números a, byc son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama el primer coeficiente, el número b, el segundo coeficiente, y el número c, el término libre.

En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde \\ (a \\ neq 0 \\), la mayor potencia de la variable x es el cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.

Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente en x 2 es 1 se llama ecuación cuadrática reducida... Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas reducidas son las ecuaciones
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Si en la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0 al menos uno de los coeficientes boc es igual a cero, entonces dicha ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta... Entonces, las ecuaciones -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b \u003d 0, en el segundo c \u003d 0, en el tercero b \u003d 0 y c \u003d 0.

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tres tipos:
1) ax 2 + c \u003d 0, donde \\ (c \\ neq 0 \\);
2) ax 2 + bx \u003d 0, donde \\ (b \\ neq 0 \\);
3) eje 2 \u003d 0.

Consideremos la solución de ecuaciones de cada uno de estos tipos.

Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c \u003d 0 para \\ (c \\ neq 0 \\), transfiera su término libre al lado derecho y divida ambos lados de la ecuación por a:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Flecha derecha x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Dado que \\ (c \\ neq 0 \\), entonces \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Si \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), entonces la ecuación tiene dos raíces.

Si \\ (- \\ frac (c) (a) Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + bx \u003d 0 para \\ (b \\ neq 0 \\), factoriza su lado izquierdo en factores y obtén la ecuación
\\ (x (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ end (array) \\ right. \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (matriz) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (matriz) \\ right. \\)

Por tanto, una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + bx \u003d 0 para \\ (b \\ neq 0 \\) siempre tiene dos raíces.

Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 \u003d 0 es equivalente a la ecuación x 2 \u003d 0 y por lo tanto tiene una raíz única 0.

La fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática

Consideremos ahora cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.

Resolvamos la ecuación cuadrática en forma general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Entonces esta fórmula se puede aplicar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Resolver la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0

Dividiendo sus dos partes por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Transformamos esta ecuación seleccionando el cuadrado del binomio:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2- \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Flecha derecha \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ Flecha derecha \\) \\ (\\ izquierda (x + \\ frac (b) (2a) \\ derecha) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac ( c) (a) \\ Flecha derecha \\ izquierda (x + \\ frac (b) (2a) \\ derecha) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ Flecha derecha \\) \\ (x + \\ frac (b ) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \\ Flecha derecha x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt (b ^ 2 -4ac)) (2a) \\ Flecha derecha \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \\)

La expresión radical se llama el discriminante de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0 ("discriminante" latino es un discriminante). Está designado por la letra D, es decir
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Ahora, usando la notación del discriminante, reescribimos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), donde \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Es obvio que:
1) Si D\u003e 0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D \u003d 0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Si D Así, dependiendo del valor del discriminante, una ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D\u003e 0), una raíz (para D \u003d 0) o no tener raíces (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula, es aconsejable proceder de la siguiente manera camino:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, utilice la fórmula de la raíz, si el discriminante es negativo, escriba que no hay raíces.

Teorema de vieta

La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x + 10 \u003d 0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática que tenga raíces tiene esta propiedad.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.

Aquellos. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0 tienen la propiedad:
\\ (\\ left \\ (\\ begin (matriz) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (matriz) \\ right. \\)

Espero que después de estudiar este artículo, aprenda a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática completa.

Con la ayuda del discriminante, solo se resuelven ecuaciones cuadráticas completas, se utilizan otros métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas, que encontrarás en el artículo "Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas".

¿Qué ecuaciones cuadráticas se llaman completas? eso ecuaciones de la forma ax 2 + b x + c \u003d 0donde los coeficientes a, byc no son iguales a cero. Entonces, para resolver la ecuación cuadrática completa, necesitas calcular el discriminante D.

D \u003d segundo 2 - 4ac.

Dependiendo del valor que tenga el discriminante, escribiremos la respuesta.

Si el discriminante es negativo (D< 0),то корней нет.

Si el discriminante es cero, entonces x \u003d (-b) / 2a. Cuando el discriminante es un número positivo (D\u003e 0),

entonces x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, y x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Por ejemplo. Resuelve la ecuación x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Respuesta: 2.

Resuelve la ecuación 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Respuesta: sin raíces.

Resuelve la ecuación 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Respuesta: - 3,5; 1.

Entonces, presentaremos la solución de ecuaciones cuadráticas completas por el circuito en la Figura 1.

Cualquier ecuación cuadrática completa se puede resolver usando estas fórmulas. Solo debe tener cuidado para asegurarse de que la ecuación se escribió como un polinomio estándar

y x 2 + bx + c, de lo contrario, puede cometer un error. Por ejemplo, al escribir la ecuación x + 3 + 2x 2 \u003d 0, puede decidir erróneamente que

a \u003d 1, b \u003d 3 y c \u003d 2. Entonces

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 y luego la ecuación tiene dos raíces. Y eso no es cierto. (Consulte la solución del Ejemplo 2 anterior).

Por lo tanto, si la ecuación no se escribe como un polinomio de la forma estándar, primero se debe escribir la ecuación cuadrática completa como un polinomio de la forma estándar (en primer lugar debe ser el monomio con el mayor exponente, es decir y x 2 , luego con menos – bxy luego un miembro gratis desde.

Al resolver la ecuación cuadrática reducida y una ecuación cuadrática con un coeficiente par en el segundo término, también se pueden usar otras fórmulas. Familiaricémonos con estas fórmulas. Si en la ecuación cuadrática completa con el segundo término el coeficiente es par (b \u003d 2k), entonces la ecuación se puede resolver usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 2.

Una ecuación cuadrática completa se llama reducida si el coeficiente en x 2 es igual a uno y la ecuación toma la forma x 2 + px + q \u003d 0... Tal ecuación se puede dar para la solución, o se obtiene dividiendo todos los coeficientes de la ecuación por el coeficiente yde pie en x 2 .

La figura 3 muestra un esquema para resolver el cuadrado reducido
ecuaciones. Veamos un ejemplo de la aplicación de las fórmulas discutidas en este artículo.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Resolvamos esta ecuación aplicando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Respuesta: -1 - √3; –1 + √3

Se puede observar que el coeficiente en x en esta ecuación es un número par, es decir, b \u003d 6 o b \u003d 2k, de donde k \u003d 3. Luego intentaremos resolver la ecuación mediante las fórmulas que se muestran en el diagrama de la figura D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Respuesta: -1 - √3; –1 + √3... Al notar que todos los coeficientes en esta ecuación cuadrática se dividen por 3 y al realizar la división, obtenemos la ecuación cuadrática reducida x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Resuelve esta ecuación usando las fórmulas para la ecuación cuadrática reducida
ecuación figura 3.

D 2 \u003d 2 2-4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Respuesta: -1 - √3; –1 + √3.

Como puede ver, al resolver esta ecuación usando diferentes fórmulas, recibimos la misma respuesta. Por lo tanto, habiendo dominado bien las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1, siempre puede resolver cualquier ecuación cuadrática completa.

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