Strādāsim ar kvadrātvienādojumi... Tie ir ļoti populāri vienādojumi! Vispārīgākajā formā kvadrātvienādojums izskatās šādi:

Piemēram:

Šeit un =1; b = 3; c = -4

Šeit un =2; b = -0,5; c = 2,2

Šeit un =-3; b = 6; c = -18

Nu, jums ir ideja ...

Kā atrisināt kvadrātvienādojumus? Ja jums šajā formā ir kvadrātvienādojums, tad viss jau ir vienkārši. Atceroties burvju vārdu diskriminējošs ... Rets vidusskolnieks nav dzirdējis šo vārdu! Frāze “izlemt, izmantojot diskriminējošo personu” iedvesmo pārliecību un pārliecību. Jo nevajag gaidīt netīrus trikus no diskriminanta! Tas ir vienkārši un bez problēmām lietojams. Tātad kvadrātvienādojuma sakņu atrašanas formula izskatās šādi:

Izteiciens zem saknes zīmes ir vienāds diskriminējošs... Kā redzat, lai atrastu x, mēs izmantojam tikai a, b un c... Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi aizstājiet vērtības a, b un c šajā formulā un skaitīt. Aizstājējs ar savām zīmēm! Piemēram, pirmajam vienādojumam un =1; b = 3; c \u003d -4. Tāpēc mēs pierakstām:

Piemērs ir gandrīz atrisināts:

Tas ir viss.

Kādi gadījumi ir iespējami, izmantojot šo formulu? Ir tikai trīs gadījumi.

1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka jūs varat no tā iegūt sakni. Tiek iegūta laba sakne, vai slikta - cits jautājums. Ir svarīgi, ko principā iegūst. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.

2. Diskriminants ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Stingri sakot, šī nav viena sakne, bet divi identiski... Bet tam ir nozīme nevienlīdzībā, tur mēs šo jautājumu pētīsim sīkāk.

3. Diskriminants ir negatīvs. No negatīvā skaitļa netiek ņemta kvadrātsakne. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Viss ir ļoti vienkārši. Un kas, jūsuprāt, nevar kļūdīties? Nu, jā, kā ...
Visizplatītākās kļūdas ir sajaukšana ar nozīmes zīmēm. a, b un c... Drīzāk ne ar to zīmēm (kur sajaukt?), Bet ar negatīvo vērtību aizstāšanu sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit tiek saglabāts detalizēts formulas apzīmējums ar konkrētiem skaitļiem. Ja ir skaitļošanas problēmas, dari tā!

Pieņemsim, ka jums jāatrisina šis piemērs:

Šeit a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Pieņemsim, ka jūs zināt, ka pirmo reizi reti saņemat atbildes.

Nu, neesiet slinki. Papildu rindas uzrakstīšana prasīs 30 sekundes. Un kļūdu skaits strauji samazināsies... Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:

Liekas neticami grūti gleznot tik uzmanīgi. Bet tas tikai šķiet. Pamēģini. Nu, vai izvēlies. Kas ir labāks, ātrāks vai ne? Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika nevajadzēs visu tik rūpīgi krāsot. Tas izdosies pareizi pats no sevis. It īpaši, ja izmantojat tālāk aprakstītās praktiskās metodes. Šo ļauno piemēru ar virkni mīnusu var atrisināt viegli un bez kļūdām!

Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus caur diskriminantu mēs atcerējāmies. Vai arī iemācījies, kas arī nav slikti. Zināt, kā pareizi identificēt a, b un c... Jūs zināt, kā uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi izlasiet rezultātu. Jums rodas ideja, ka šeit ir atslēgas vārds uzmanīgi?

Tomēr kvadrātvienādojumi bieži izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

to nepilnīgi kvadrātvienādojumi ... Tos var atrisināt arī ar diskriminanta starpniecību. Jums vienkārši pareizi jāizdomā, kas šeit ir vienāds a, b un c.

Vai esat sapratuši? Pirmajā piemērā a \u003d 1; b \u003d -4; un c? Viņa vispār nav! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c \u003d 0 ! Tas ir viss. Mēs formulā aizstājam nulli, nevis c, un mums tas izdosies. Tas pats ir ar otro piemēru. Tikai nulle mums šeit nav no, un b !

Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vieglāk. Bez jebkāda diskriminanta. Apsveriet pirmo nepilnīgo vienādojumu. Ko jūs tur varat darīt kreisajā pusē? Jūs varat ievietot x iekavās! Izņemsim.

Un kas no tā? Un fakts, ka produkts ir vienāds ar nulli, un tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici man? Nu, tad padomājiet par diviem skaitļiem, kas nav nulle un kuri, reizinot, dos nulli!
Nestrādā? Tieši tā ...
Tāpēc mēs varam droši rakstīt: x \u003d 0vai x \u003d 4

Viss. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi der. Aizstājot jebkuru no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 \u003d 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā caur diskriminantu.

Arī otro vienādojumu var atrisināt vienkārši. Pārvietojiet 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:

Atliek iegūt sakni no 9, un tas ir viss. Izrādās:

Arī divas saknes ... x \u003d +3 un x \u003d -3.

Tā tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu ievietojot x iekavās, vai arī vienkārši pārvietojot skaitli pa labi un pēc tam izvelkot sakni.
Ir ārkārtīgi grūti sajaukt šīs metodes. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā jums būs jāizvelk sakne no x, kas ir kaut kā nesaprotams, un otrajā gadījumā nav ko likt iekavās ...

Pagaidām ņemiet vērā labāko praksi, kas ievērojami samazinās kļūdas. Tieši tie, kas saistīti ar neuzmanību ... ... par kuriem tad tas ir sāpīgi un aizvainojoši ...

Pirmā pieņemšana... Neesiet slinks, pirms atrisināt kvadrātvienādojumu, lai tas nonāktu standarta formā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jums ir šāds vienādojums:

Nesteidzieties rakstīt saknes formulu! Jūs gandrīz noteikti sajauksit izredzes. a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Pirmkārt, X ir kvadrāts, pēc tam bez kvadrāta, pēc tam brīvais loceklis. Kā šis:

Atkal, nesteidzieties! Mīnuss priekšā x laukumā var jūs patiesi skumt. To ir viegli aizmirst ... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīts iepriekšējā tēmā! Jums ir jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Bet tagad jūs varat droši pierakstīt sakņu formulu, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru. Dari pats. Jums vajadzētu būt 2 un -1 saknēm.

Otra uzņemšana. Pārbaudiet saknes! Pēc Vietas teorēmas. Neuztraucieties, es visu izskaidrošu! Pārbauda pēdējā lieta vienādojums. Tie. to, ar kuru mēs pierakstījām sakņu formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a \u003d 1, pārbaudīt saknes ir viegli. Pietiek tos pavairot. Jums vajadzētu iegūt bezmaksas biedru, t.i. mūsu gadījumā -2. Pievērsiet uzmanību, nevis 2, bet -2! Brīvs biedrs ar manu zīmi ... Ja tas nedarbojās, tad tas jau kaut kur ir ieskrūvēts. Meklējiet kļūdu. Ja tas izdodas, jums ir jāsaliek saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Jums vajadzētu iegūt koeficientu b no pretēji pazīstams. Mūsu gadījumā -1 + 2 \u003d +1. Un koeficients bkas ir pirms x ir -1. Tātad viss ir pareizi!
Žēl, ka tas ir tik vienkārši tikai tiem piemēriem, kur x kvadrāts ir tīrs, ar koeficientu a \u003d 1. Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Kļūdu būs mazāk.

Trešā reģistratūra... Ja jūsu vienādojumā ir frakcionēti koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucēju, kā aprakstīts iepriekšējā sadaļā. Strādājot ar daļām, nez kāpēc rodas kļūdas ...

Starp citu, es apsolīju vienkāršot ļauno piemēru ar virkni mīnusu. Jūs esat laipni gaidīti! Te tas ir.

Lai neapjuktu mīnusos, reizinām vienādojumu ar -1. Mēs iegūstam:

Tas ir viss! Prieks izlemt!

Tātad, apkopojot tēmu.

Praktiski padomi:

1. Pirms atrisināšanas mēs kvadrātvienādojumu ievedam standarta formā, izveidojam to pareizi.

2. Ja kvadrātā x priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.

3. Ja koeficienti ir daļēji, mēs izslēdzam frakcijas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.

4. Ja x kvadrāts ir tīrs, koeficients pie tā ir vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt ar Vieta teorēmu. Dariet to!

Frakciju vienādojumi. ODZ.

Mēs turpinām apgūt vienādojumus. Mēs jau zinām, kā strādāt ar lineārajiem un kvadrātvienādojumiem. Paliek pēdējais skatiens - frakciju vienādojumi... Vai arī tos sauc arī daudz solīdāk - daļēji racionālie vienādojumi... Tas ir tas pats.

Frakciju vienādojumi.

Kā norāda nosaukums, šajos vienādojumos vienmēr ir frakcijas. Bet ne tikai frakcijas, bet arī frakcijas, kurām ir nezināms saucējā... Vismaz viens. Piemēram:

Ļaujiet man jums atgādināt, ka, ja saucēji satur tikai numuri, tie ir lineāri vienādojumi.

Kā atrisināt frakciju vienādojumi? Pirmkārt, atbrīvojieties no frakcijām! Pēc tam vienādojums visbiežāk pārvēršas par lineāru vai kvadrātu. Un tad mēs zinām, kā rīkoties ... Dažos gadījumos tā var pārvērsties identitātē, piemēram, 5 \u003d 5 vai nepareizā izteiksmē, piemēram, 7 \u003d 2. Bet tas notiek reti. Es to pieminēšu tālāk.

Bet kā atbrīvoties no frakcijām!? Ļoti vienkārši. Pielietojot visas tās pašas identiskās transformācijas.

Mums ir jāreizina viss vienādojums ar to pašu izteicienu. Tā, lai visi saucēji tiktu samazināti! Vienlaikus viss kļūs vieglāk. Ļaujiet man paskaidrot ar piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina vienādojums:

Kā jūs mācījāt pamatskolā? Mēs visu pārnesam vienā virzienā, nonākam pie kopsaucēja utt. Aizmirstiet to kā sliktu sapni! Tas jādara, pievienojot vai atņemot daļējas izteiksmes. Vai arī darbs ar nevienlīdzību. Un vienādojumos mēs uzreiz reizinām abas puses ar izteicienu, kas mums dos iespēju samazināt visus saucējus (t.i., būtībā ar kopsaucēju). Un kāda ir šī izteiksme?

Kreisajā pusē, reizinot ar x + 2 ... Labajā pusē ir nepieciešams reizināt ar 2. Tādējādi vienādojums ir jāreizina ar 2 (x + 2)... Mēs reizinām:

Tas ir parasts frakciju reizinājums, bet es to uzrakstīšu detalizēti:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka es vēl neizvēršu iekavas (x + 2)! Tātad es to pilnībā uzrakstīju:

Kreisajā pusē tas ir pilnībā samazināts (x + 2), un labajā pusē 2. Kas ir vajadzīgs! Pēc samazināšanas mēs iegūstam lineārs vienādojums:

Un visi atrisinās šo vienādojumu! x \u003d 2.

Atrisināsim vēl vienu, nedaudz sarežģītāku piemēru:

Ja atceramies, ka 3 \u003d 3/1, un 2x \u003d 2x /1, jūs varat rakstīt:

Un atkal mēs atbrīvojamies no tā, kas mums īsti nepatīk - frakcijas.

Mēs redzam, ka, lai atceltu saucēju ar x, jums jāreizina frakcija ar (x - 2)... Daži no tiem mums nav šķērslis. Nu mēs reizinām. Viss kreisajā pusē un viss labā puse:

Atkal iekavas (x - 2) Es neatklāju. Es strādāju ar kronšteinu kopumā, it kā tas būtu viens skaitlis! Tas vienmēr jādara, pretējā gadījumā nekas netiks samazināts.

Ar dziļas gandarījuma sajūtu mēs sagriezām (x - 2) un mēs iegūstam vienādojumu bez daļām, lineālā!

Un tagad mēs atveram iekavas:

Mēs dodam līdzīgus, visu pārnesam uz kreiso pusi un iegūstam:

Klasiskais kvadrātvienādojums. Bet priekšā esošais mīnuss nav labs. No tā vienmēr var atbrīvoties, reizinot vai dalot ar -1. Bet, aplūkojot tuvāk piemēru, pamanīsit, ka vislabāk ir dalīt šo vienādojumu ar -2! Vienā rāvienā mīnus pazudīs, un izredzes kļūs skaistākas! Dalīt ar -2. Kreisajā pusē - termins pēc termiņa un labajā pusē - vienkārši daliet nulli ar -2, nulle un iegūstiet:

Mēs to atrisinām, izmantojot diskriminējošo un pārbaudot Vieta teorēmu. Mēs saņemam x \u003d 1 un x \u003d 3... Divas saknes.

Kā redzat, pirmajā gadījumā vienādojums pēc transformācijas kļuva lineārs, bet šeit tas ir kvadrāts. Tā notiek, ka pēc atbrīvošanās no frakcijām visi xes tiek samazināti. Paliek kaut kas līdzīgs 5 \u003d 5. Tas nozīmē, ka x var būt jebkurš... Lai kāds tas būtu, tas tomēr samazināsies. Un jūs saņemat godīgu patiesību, 5 \u003d 5. Bet, atbrīvojoties no daļām, tas var izrādīties pilnīgi nepatiesa, piemēram, 2 \u003d 7. Tas nozīmē ka risinājumu nav! Ar jebkuru x izrādās meli.

Realizēja galveno risinājumu frakcionālie vienādojumi? Tas ir vienkārši un loģiski. Mēs mainām sākotnējo izteicienu tā, lai pazustu viss, kas mums nepatīk. Vai arī traucē. Šajā gadījumā tās ir frakcijas. Mēs darīsim to pašu ar visdažādākajiem kompleksiem piemēriem ar logaritmiem, sinusiem un citām šausmām. mēs vienmēr mēs no tā visa tiksim vaļā.

Tomēr mums ir jāmaina sākotnējā izteiksme mums vajadzīgajā virzienā saskaņā ar noteikumiem, jā ... Apgūšana, kas ir sagatavošanās eksāmenam matemātikā. Tātad mēs to apgūstam.

Tagad mēs uzzināsim, kā apiet vienu no galvenās eksāmena slazdi! Bet vispirms redzēsim, vai jūs tajā iekļūstat, vai ne?

Apskatīsim vienkāršu piemēru:

Jautājums jau ir pazīstams, mēs reizinām abas daļas ar (x - 2), mēs iegūstam:

Es jums atgādinu ar iekavām (x - 2) mēs strādājam kā ar vienu veselu izteicienu!

Šeit es vairs nerakstīju 1 saucējos, tas ir necienīgi ... Un es saucējos zīmēju iekavas, izņemot x - 2 nekas nav, nav jāzīmē. Samazināšana:

Mēs atveram iekavas, visu pārvietojam pa kreisi, dodam līdzīgus:

Mēs atrisinām, pārbaudām, iegūstam divas saknes. x \u003d 2 un x \u003d 3... Izcili.

Pieņemsim, ka uzdevums saka pierakstīt sakni vai to summu, ja ir vairāk nekā viena sakne. Ko mēs rakstīsim?

Ja jūs nolemjat, ka atbilde ir 5, jūs tika apslēpti... Un uzdevums jums netiks ieskaitīts. Strādāja veltīgi ... Pareiza atbilde 3.

Kas noticis?! Un jūs mēģināt veikt pārbaudi. Nezināmā vērtības aizstājiet ar oriģināls piemērs. Un ja plkst x \u003d 3 viss brīnišķīgi augs kopā ar mums, mēs iegūstam 9 \u003d 9, pēc tam ar x \u003d 2 dalīšana ar nulli! Ko nevar darīt kategoriski. Nozīmē x \u003d 2 nav risinājums, un atbildē tas netiek ņemts vērā. Šī ir tā sauktā svešā vai papildu sakne. Mēs to vienkārši nometam. Galīgā sakne ir viena. x \u003d 3.

Kā tā ?! - dzirdu sašutušus izsaukumus. Mums mācīja, ka vienādojumu var reizināt ar izteicienu! Šī ir identiska transformācija!

Jā, identiski. Ar nelielu nosacījumu - izteiksme, ar kuru mēs reizinām (dalām) - nulle... UN x - 2 plkst x \u003d 2 ir vienāds ar nulli! Tātad viss ir godīgi.

Un ko tagad es varu darīt ?! Nevajag reizināt ar izteiksmi? Vai jums jāpārbauda katru reizi? Atkal nav skaidrs!

Nomierinies! Nekrīti panikā!

Šajā sarežģītajā situācijā mūs izglābs trīs burvju burti. Es zinu, ko tu domā. Pareizi! to ODZ ... Atļauto vērtību diapazons.

Kvadrātvienādojumi tiek pētīti 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Spēja tos atrisināt ir absolūti nepieciešama.

Kvadrātvienādojums ir formas ax 2 + bx + c \u003d 0 vienādojums, kur koeficienti a, b un c ir patvaļīgi skaitļi un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risināšanas metožu izpētes mēs atzīmējam, ka visus kvadrātvienādojumus var nosacīti iedalīt trīs klasēs:

1. Nav sakņu;
2. Ir tieši viena sakne;
3. Viņiem ir divas atšķirīgas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātiskajiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējošs.

Diskriminējošs

Ļaujiet dot kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c \u003d 0. Tad diskriminants ir tikai skaitlis D \u003d b 2 - 4ac.

Šī formula jums jāzina no galvas. No kurienes tas nāk - tagad tam nav nozīmes. Svarīga ir vēl viena lieta: pēc diskriminanta zīmes jūs varat noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

1. Ja D< 0, корней нет;
2. Ja D \u003d 0, ir tieši viena sakne;
3. Ja D\u003e 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: atšķirīgais norāda sakņu skaitu un nemaz nenorāda to pazīmes, kā daudzi nez kāpēc uzskata. Apskatiet piemērus - un jūs pats visu sapratīsit:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Pierakstīsim pirmā vienādojuma koeficientus un atradīsim diskriminantu:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (−8) 2 - 4 1 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Tātad, atšķirīgais ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu līdzīgi:
a \u003d 5; b \u003d 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d −131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Paliek pēdējais vienādojums:
a \u003d 1; b \u003d −6; c \u003d 9;
D \u003d (−6) 2 - 4 1 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminants ir nulle - būs viena sakne.

Ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir uzrakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir garlaicīgi - bet jūs nejaucat koeficientus un nepieļausit stulbas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja jūs “aizpildāt savu roku”, pēc kāda laika jums nevajadzēs izrakstīt visus koeficientus. Šādas darbības veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50-70 vienādojumu atrisināšanas - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātiskās saknes

Tagad pārejam pie risinājuma. Ja diskriminants D\u003e 0, saknes var atrast pēc formulām:

Kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Kad D \u003d 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemsiet to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d −2; c \u003d −3;
D \u003d (−2) 2 - 4 1 (−3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atrodīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d −1; b \u003d −2; c \u003d 15;
D \u003d (−2) 2 - 4 (−1) 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atrodi viņus

\\ [\\ begin (izlīdzināt) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ pa labi)) \u003d 3. \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 a \u003d 1; b \u003d 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1, 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzams no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja jūs zināt formulas un spējat saskaitīt, problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, aizstājot formulas negatīvos koeficientus. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: skatieties formulu burtiski, aprakstiet katru soli - un ļoti drīz jūs atbrīvosities no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Ir viegli redzēt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta: tiem pat nav nepieciešams aprēķināt diskriminantu. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c \u003d 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b \u003d 0 vai c \u003d 0, t.i. koeficients pie mainīgā x vai brīvā elementa ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b \u003d c \u003d 0. Šajā gadījumā vienādojums iegūst formu ax 2 \u003d 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viena sakne: x \u003d 0.

Apsvērsim pārējos gadījumus. Ļaujiet b \u003d 0, tad iegūstam nepilnīgu kvadrātveida vienādojumu ar formu ax 2 + c \u003d 0. Mēs to nedaudz pārveidojam:

Tā kā aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no skaitļa, kas nav negatīvs, pēdējai vienādībai ir jēga tikai (−c / a) ≥ 0. Secinājums:

1. Ja nevienādība (−c / a) ≥ 0 pastāv nepilnīgā kvadrāta vienādojumā ar formu ax 2 + c \u003d 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
2. Ja (−c / a)< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs - nepilnīgos kvadrātvienādojumos vispār nav sarežģītu aprēķinu. Patiesībā nav pat jāatceras nevienlīdzība (−c / a) ≥ 0. Pietiek, lai izteiktu vērtību x 2 un redzētu, kas stāv vienādības zīmes otrā pusē. Ja būs pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja tas ir negatīvs, sakņu vispār nebūs.

Tagad aplūkosim formas 2 + bx \u003d 0 vienādojumus, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkāršs: vienmēr būs divas saknes. Tas ir pietiekami, lai ņemtu vērā polinomu:

Kopsavilkuma iekavās

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. No šejienes ir saknes. Noslēgumā mēs analizēsim vairākus šādus vienādojumus:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 x (x - 7) \u003d 0 x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d −30 ⇒ x 2 \u003d −6. Sakņu nav, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d −1,5.

Pirmkārt, kas ir kvadrātvienādojums? Kvadrātvienādojums ir formas ^ ^ + bx + c \u003d 0 vienādojums, kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi, un a nav vienāds ar nulli.

2. solis

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, mums jāzina tā sakņu formula, tas ir, sākumā - kvadrātvienādojuma diskriminanta formula. Tas izskatās šādi: D \u003d b ^ 2-4ac. Jūs to varat secināt pats, bet parasti tas nav nepieciešams, tikai atcerieties formulu (!) Jums tas patiešām būs vajadzīgs nākotnē. Ir arī formula ceturtdaļai diskriminanta, vairāk par to nedaudz vēlāk.

3. solis

Kā piemēru ņem vienādojumu 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0. Es to atrisināšu divos veidos.

4. solis

1. metode. Diskriminējošs.
3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0
a \u003d 3, b \u003d -24, c \u003d 21
D \u003d b ^ 2-4ac
D \u003d 576-4 * 63 \u003d 576-252 \u003d 324 \u003d 18 ^ 2
D\u003e
x1,2 \u003d (-b 18) / 6 \u003d 42/6 \u003d 7
x2 \u003d (- (- 24) -18) / 6 \u003d 6/6 \u003d 1

5. solis

Ir pienācis laiks atcerēties diskriminanta ceturtdaļas formulu, kas var ievērojami atvieglot mūsu vienādojuma \u003d) atrisināšanu, tāpēc tas izskatās šādi: D1 \u003d k ^ 2-ac (k \u003d 1 / 2b)
2. metode. Ceturtā daļa diskriminanta.
3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0
a \u003d 3, b \u003d -24, c \u003d 21
k \u003d -12
D1 \u003d k ^ 2 - ac
D1 \u003d 144-63 \u003d 81 \u003d 9 ^ 2
D1\u003e 0, tātad vienādojumam ir 2 saknes
x1,2 \u003d k + / kvadrātsakne no D1) / a
x1 \u003d (- (- 12) +9) / 3 \u003d 21/3 \u003d 7
x2 \u003d (- (- 12) -9) / 3 \u003d 3/3 \u003d 1

Cik daudz vieglāk ir risinājums?;)
Paldies par uzmanību, novēlu veiksmi mācībās \u003d)

• Mūsu gadījumā vienādojumos D un D1 bija\u003e 0, un mēs ieguvām 2 saknes. Ja būtu D \u003d 0 un D1 \u003d 0, tad mēs iegūtu katru vienu sakni un, ja būtu D<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
• Izmantojot diskriminanta sakni (D1), var atrisināt tikai tos vienādojumus, kuros termins b ir pat (!)

Ar šo matemātikas programmu jūs varat atrisināt kvadrātvienādojumu.

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risinājuma procesu divos veidos:
- izmantojot diskriminantu
- izmantojot Vietas teorēmu (ja iespējams).

Turklāt atbilde tiek parādīta precīza, nevis aptuvena.
Piemēram, vienādojumam \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) atbilde tiek parādīta šādā formā:

$$ x_1 \u003d \\ frac (8+ \\ sqrt (145)) (81), quad x_2 \u003d \\ frac (8- \\ sqrt (145)) (81) $$ un nepatīk šādi: \\ (x_1 \u003d 0,247; \\ quad x_2 \u003d -0,05 \\)

Šī programma var būt noderīga vecāko klašu skolēniem, gatavojoties pārbaudījumiem un eksāmeniem, pārbaudot zināšanas pirms eksāmena, vecākiem kontrolēt daudzu matemātikas un algebras problēmu risināšanu. Vai varbūt tas ir pārāk dārgi, lai jūs algotu pasniedzēju vai pirktu jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vēlaties pēc iespējas ātrāk paveikt savus matemātikas vai algebras mājas darbus? Šajā gadījumā jūs varat arī izmantot mūsu programmas ar detalizētu risinājumu.

Tādā veidā jūs varat vadīt pats un / vai mācīt savus jaunākos brāļus vai māsas, kamēr izglītības līmenis risināto problēmu jomā palielinās.

Ja jums nav zināmi kvadrātveida polinoma ievadīšanas noteikumi, iesakām ar tiem iepazīties.

Kvadrātveida polinoma ievadīšanas noteikumi

Jebkuru latīņu burtu var izmantot kā mainīgo.
Piemēram: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) utt.

Skaitļus var ievadīt kā veselus vai daļējus.
Turklāt daļskaitļus var ievadīt ne tikai decimāldaļu, bet arī parastas daļas veidā.

Noteikumi decimāldaļu ievadīšanai.
Decimāldaļās frakcionēto daļu no visa var atdalīt vai nu ar punktu, vai ar komatu.
Piemēram, jūs varat ievadīt decimāldaļas šādi: 2,5x - 3,5x ^ 2

Noteikumi parasto frakciju ievadīšanai.
Tikai skaitli var izmantot kā skaitītāju, saucēju un daļu no daļas.

Saucējs nevar būt negatīvs.

Ievadot skaitlisko daļu, skaitītāju no saucēja atdala dalīšanas zīme: /
Visu daļu no frakcijas atdala ar zīmi: &
Ieeja: 3 un 1/3 - 5 un 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultāts: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

Ievadot izteiksmi var izmantot iekavas... Šajā gadījumā, risinot kvadrātvienādojumu, vispirms tiek vienkāršota ieviestā izteiksme.
Piemēram: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

Izlemiet

Tika konstatēts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti, un programma, iespējams, nedarbosies.
Varbūt jums ir iespējota AdBlock.
Šajā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

Jūsu pārlūkprogrammā JavaScript ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums jāiespējo JavaScript.
Šeit ir instrukcijas, kā iespējot JavaScript savā pārlūkprogrammā.

Tā kā Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir rindā.
Pēc dažām sekundēm risinājums parādīsies zemāk.
Lūdzu uzgaidiet sek ...

Ja jūs pamanīju kļūdu lēmumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādīt, kurš uzdevums jūs izlemjat un ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Mazliet teorijas.

Kvadrātvienādojums un tā saknes. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Katrs no vienādojumiem
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
ir forma
\\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
kur x ir mainīgais, a, b un c ir skaitļi.
Pirmajā vienādojumā a \u003d -1, b \u003d 6 un c \u003d 1,4, otrajā a \u003d 8, b \u003d -7 un c \u003d 0, trešajā a \u003d 1, b \u003d 0 un c \u003d 4/9. Šādus vienādojumus sauc kvadrātvienādojumi.

Definīcija.
Kvadrātvienādojums ir formas ax 2 + bx + c \u003d 0 vienādojums, kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi un \\ (a \\ neq 0 \\).

Skaitļi a, b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti. Skaitli a sauc par pirmo koeficientu, skaitli b - par otro koeficientu un skaitli c - par brīvo terminu.

Katrā no formas ax 2 + bx + c \u003d 0 vienādojumiem, kur \\ (a \\ neq 0 \\), mainīgā x lielākā jauda ir kvadrāts. No tā izriet nosaukums: kvadrātvienādojums.

Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojumu sauc arī par otrās pakāpes vienādojumu, jo tā kreisā puse ir otrās pakāpes polinoms.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā koeficients pie x 2 ir 1 samazināts kvadrātvienādojums... Piemēram, samazinātie kvadrātvienādojumi ir vienādojumi
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Ja kvadrātvienādojumā ax 2 + bx + c \u003d 0 vismaz viens no koeficientiem b vai c ir vienāds ar nulli, tad šādu vienādojumu sauc nepilnīgs kvadrātvienādojums... Tātad vienādojumi -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Pirmajā no tām b \u003d 0, otrajā c \u003d 0, trešajā b \u003d 0 un c \u003d 0.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi ir trīs veidu:
1) cirvis 2 + c \u003d 0, kur \\ (c \\ neq 0 \\);
2) cirvis 2 + bx \u003d 0, kur \\ (b \\ neq 0 \\);
3) cirvis 2 \u003d 0.

Apsvērsim katra no šiem veidiem vienādojumu risinājumu.

Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrāta vienādojumu formā ax 2 + c \u003d 0 \\ (c \\ neq 0 \\), pārvietojiet tā brīvo terminu uz labo pusi un sadaliet abas vienādojuma puses ar:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Tā kā \\ (c \\ neq 0 \\), tad \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Ja \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), tad vienādojumam ir divas saknes.

Ja \\ (- \\ frac (c) (a) Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrāta vienādojumu ar formu ax 2 + bx \u003d 0, lai \\ (b \\ neq 0 \\) koeficientu kreisajā pusē iegūtu vienādojumu
\\ (x (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (masīvs) (l) x \u003d 0 \\ ax + b \u003d 0 \\ end (masīvs) \\ right. \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (masīvs) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ beigas (masīvs) \\ labi. \\)

Tādējādi nepilnīgam kvadrāta vienādojumam formas 2 + bx \u003d 0 ar \\ (b \\ neq 0 \\) vienmēr ir divas saknes.

Nepilnīgs formas ax 2 \u003d 0 kvadrātvienādojums ir vienāds ar vienādojumu x 2 \u003d 0, un tāpēc tam ir unikāla sakne 0.

Kvadrāta vienādojuma sakņu formula

Tagad aplūkosim, kā tiek atrisināti kvadrātvienādojumi, kuros gan nezināmo, gan brīvā termina koeficienti ir nulle.

Atrisināsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā un rezultātā iegūstam sakņu formulu. Tad šo formulu var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c \u003d 0

Dalot abas tā daļas ar a, iegūstam ekvivalentu samazinātu kvadrātvienādojumu
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Mēs pārveidojam šo vienādojumu, izvēloties binoma kvadrātu:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right] ^ 2- \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Rightarrow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ pa kreisi (\\ frac (b) (2a) \\ pa labi) ^ 2 \u003d \\ pa kreisi (\\ frac (b) (2a) \\ pa labi) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow \\) \\ (\\ left (x + \\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac ( c) (a) \\ Rightarrow \\ left (x + \\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ Rightarrow \\) \\ (x + \\ frac (b ) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt (b ^ 2 -4ac)) (2a) \\ Rightarrow \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \\)

Tiek saukta radikālā izteiksme kvadrātvienādojuma diskriminants cirvis 2 + bx + c \u003d 0 (latīņu valodā "diskriminants" ir diskriminators). To apzīmē ar burtu D, t.i.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Tagad, izmantojot diskriminanta apzīmējumu, mēs pārrakstām kvadrātvienādojuma sakņu formulu:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), kur \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Ir skaidrs, ka:
1) Ja D\u003e 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes.
2) Ja D \u003d 0, tad kvadrātvienādojumam ir viena sakne \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Ja D Tādējādi, atkarībā no diskriminanta vērtības, kvadrātvienādojumam var būt divas saknes (D\u003e 0), viena sakne (D \u003d 0) vai nav sakņu (D, Risinot kvadrātvienādojumu, izmantojot šo formulu, ieteicams rīkoties šādi: veids:
1) aprēķina diskriminantu un salīdzina to ar nulli;
2) ja diskriminants ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, tad izmantojiet saknes formulu, ja diskriminants ir negatīvs, tad pierakstiet, ka sakņu nav.

Vietas teorēma

Dotajam kvadrātvienādojumam ax 2 -7x + 10 \u003d 0 ir saknes 2 un 5. Sakņu summa ir 7, un reizinājums ir 10. Mēs redzam, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Jebkuram dotajam kvadrātvienādojumam ar saknēm piemīt šī īpašība.

Dotā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu.

Tie. Vieta teorēma apgalvo, ka samazinātā kvadrātvienādojuma x 2 + px + q \u003d 0 saknēm x 1 un x 2 ir īpašība:
\\ (\\ left \\ (\\ begin (masīvs) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (masīvs) \\ right. \\)

Es ceru, ka, izpētot šo rakstu, jūs uzzināsiet, kā atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes.

Ar diskriminanta palīdzību tiek atrisināti tikai pilnīgi kvadrātvienādojumi, nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšanai tiek izmantotas citas metodes, kuras atradīsit rakstā "Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana".

Kādus kvadrātvienādojumus sauc par pilnīgiem? to formas ax 2 + b x + c \u003d 0 vienādojumikur koeficienti a, b un c nav vienādi ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnu kvadrātvienādojumu, jums jāaprēķina diskriminants D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Atkarībā no tā, kāda vērtība ir diskriminantam, mēs pierakstīsim atbildi.

Ja diskriminants ir negatīvs (D< 0),то корней нет.

Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad x \u003d (-b) / 2a. Ja atšķirīgais ir pozitīvs skaitlis (D\u003e 0),

tad x 1 \u003d (-b - √D) / 2a un x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Piemēram. Atrisiniet vienādojumu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Atbilde: 2.

Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Atbilde: nav sakņu.

Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Atbilde: - 3,5; 1.

Tātad, parādīsim pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu pēc shēmas 1. attēlā.

Jebkuru pilnīgu kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot šīs formulas. Jums vienkārši jābūt uzmanīgam, lai to nodrošinātu vienādojums tika uzrakstīts kā standarta polinoms

un x 2 + bx + c, pretējā gadījumā jūs varat kļūdīties. Piemēram, rakstot vienādojumu x + 3 + 2x 2 \u003d 0, jūs to varat kļūdaini izlemt

a \u003d 1, b \u003d 3 un c \u003d 2. Tad

D \u003d 3 2 - 4 · 1,2 · 1 \u003d un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tā nav taisnība. (Sk. 2. piemēra risinājumu iepriekš).

Tāpēc, ja vienādojums nav uzrakstīts kā standarta formas polinoms, vispirms viss kvadrātvienādojums ir jāuzraksta kā standarta formas polinoms (pirmkārt, tam jābūt monomālam ar lielāko eksponentu, tas ir, un x 2 , tad ar mazāk – bxun pēc tam brīvs biedrs no.

Atrisinot samazinātu kvadrātvienādojumu un kvadrātvienādojumu ar vienmērīgu koeficientu otrajā termiņā, var izmantot arī citas formulas. Iepazīsim arī šīs formulas. Ja pilnā kvadrātvienādojumā ar otro terminu koeficients ir pat (b \u003d 2k), tad vienādojumu var atrisināt, izmantojot formulas, kas parādītas 2. attēla diagrammā.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu sauc par samazinātu, ja koeficients pie x 2 ir vienāds ar vienu, un vienādojums iegūst formu x 2 + px + q \u003d 0... Šādu vienādojumu var dot risinājumam vai to iegūst, dalot visus vienādojuma koeficientus ar koeficientu unstāv pie x 2 .

3. attēlā parādīta samazināta kvadrāta atrisināšanas shēma
vienādojumi. Apskatīsim šajā rakstā aplūkoto formulu piemērošanas piemēru.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot 1. attēlā redzamajā diagrammā parādītās formulas.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1 - √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Atbilde: -1 - √3; –1 + √3

Var atzīmēt, ka koeficients pie x šajā vienādojumā ir pāra skaitlis, tas ir, b \u003d 6 vai b \u003d 2k, no kurienes k \u003d 3. Tad mēģināsim atrisināt vienādojumu pēc formulas, kas parādītas diagrammā attēlā D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Atbilde: -1 - √3; –1 + √3... Pamanot, ka visi koeficienti šajā kvadrātvienādojumā tiek dalīti ar 3 un veicot dalīšanu, iegūstam samazinātu kvadrātvienādojumu x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot samazinātā kvadrāta formulas
vienādojuma 3. attēls.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Atbilde: -1 - √3; –1 + √3.

Kā redzat, risinot šo vienādojumu, izmantojot dažādas formulas, mēs saņēmām to pašu atbildi. Tāpēc, labi apgūstot 1. attēlā redzamajā diagrammā parādītās formulas, jūs vienmēr varat atrisināt jebkuru pilnīgu kvadrātvienādojumu.

ar pilnīgu vai daļēju materiāla kopēšanu ir nepieciešama saite uz avotu.